Primitiveren - ellips

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 04-11-'10, 20:57

AntonK

Gebruikersavatar
Berichten: 19

Primitiveren - ellips

Hallo WSF,

Ik heb een vraagje:

"Gegeven de ellips met vergelijking
\(x^2 + 4y^2 = 4\)
."

Nu moest ik eerst de bovenste helft van deze ellips beschrijven met een functievoorschrift, en dat is
\(y = \sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}\)
.

"De ellips wordt gewenteld om de x-as. Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam."

Hiervoor moest ik de functie gebruiken die ik bij de vorige vraag had opgesteld, nl.
\(y = \sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}\)
. Dit was geen probleem voor me, ik kwam uiteindelijk uit op een inhoud van
\(\frac{2}{3}\pi\)
, en dit is correct.

Daarna kwam:

"De ellips wordt gewenteld om de y-as. Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam."

Nu weet ik dat ik dezelfde formule moet gebruiken als ik bij de vorige vraag heb gebruikt, maar ik weet niet goed hoe ik de integraal moet opstellen als deze ellips om de y-as wordt gewenteld.

Kan iemand me misschien op weg helpen?

Alvast bedankt!
Omhoog

Bericht 04-11-'10, 21:08

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Primitiveren - ellips

AntonK schreef:Nu weet ik dat ik dezelfde formule moet gebruiken als ik bij de vorige vraag heb gebruikt, maar ik weet niet goed hoe ik de integraal moet opstellen als deze ellips om de y-as wordt gewenteld.

Kan iemand me misschien op weg helpen?
Je doet eigenlijk exact hetzelfde, maar nu moet je integreren langs y. Je 'isoleert' dan de rechterkant ipv de bovenkant, door op te lossen naar x ipv naar y en vervolgens stel je een integraal op die langs dy integreert.

Probeer zoveel mogelijk meetkundig te volgen wat de functies en integralen eigenlijk betekenen.
Omhoog

Bericht 04-11-'10, 21:35

AntonK

Gebruikersavatar
Berichten: 19

Re: Primitiveren - ellips

Ja, dankje! Ik heb hem door.

Hartelijk dank! ;)
Omhoog

Bericht 04-11-'10, 21:37

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Primitiveren - ellips

\(dV=2\pi x 2 y dx\)
\(dV=2\pi x 2 \sqrt{1-\frac{1}{4} x^2} dx\)
Wil je de eerste berekening geven, want ik krijg er een ander antwoord uit.
Omhoog

Bericht 04-11-'10, 21:50

AntonK

Gebruikersavatar
Berichten: 19

Re: Primitiveren - ellips

Ik neem aan dat je de bedoeld hoe ik bij
\(y = \sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}\)
gekomen ben.

Deze heb ik verkregen door:
\(x^2 + 4y^2 = 4\)
,
\(=> 4y^2 = 4-x^2\)
\(=> y^2 = 1-\frac{1}{4}x^2\)
\(=> y=\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}\)
.
Omhoog

Bericht 04-11-'10, 22:41

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Primitiveren - ellips

Wil je zo goed zijn om mijn berekening te controleren, want mijn antwoord wijkt af van jouw antwoord.

Met vr. groet

Aad
scan.jpg
scan.jpg (196.41 KiB) 404 keer bekeken
Omhoog

Bericht 05-11-'10, 00:18

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Primitiveren - ellips

aadkr schreef:
\(dV=2\pi x 2 y dx\)
\(dV=2\pi x 2 \sqrt{1-\frac{1}{4} x^2} dx\)
Wil je de eerste berekening geven, want ik krijg er een ander antwoord uit.
Beste aadkr,

Ik krijg ook een ander antwoord dan de TS, maar begrijp evenmin hoe jij aan jouw formule komt:

moet het niet zijn -voor omwenteling om de x-as, dus we integreren naar x:
\(dV=\pi y^2 dx\)
met
\( \pi y^2\)
de opp van de 'schijf' (rotatie om de x-as) en dx de dikte ervan;

dus totaal volume is dan
\(2 \int_0^2 \pi y^2 dx \)
2 keer de integraal want ik integreer van 0 tot 2

wat geeft
\(2 \pi \int_0^2 (1- \frac{x^2}{4})dx = 2\pi \cdot \frac{4}{3}= \frac{8 \pi}{3}\)
Terwijl het volgens de TS slechts een vierde daarvan mag zijn?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 05-11-'10, 11:20

Filippus

Gebruikersavatar
Berichten: 138

Re: Primitiveren - ellips

Zowel de methode van Westy als van aadkr zijn volgens mij juist.

Je kan dit ook makkelijk controleren met de formule voor het volume van een ellipsoïde:
\(V= \frac{4}{3}\pi abc\)
.

Hierin zijn a, b en c de stralen van de ellipsoïde.

Invullen geeft:
\(V= \frac{4}{3} \pi \cdot2\cdot1\cdot1 = \frac{8\pi}{3}\)
.

De oplossing is dus
\(\frac{8\pi}{3}\)
en niet
\(\frac{2\pi}{3}\)
zoals de TS beweerde.
"Quis custodiet ipsos custodes?" (Juvenalis)
Omhoog

Bericht 05-11-'10, 14:07

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Primitiveren - ellips

Beste Westy,

Ik heb inderdaad moeilijk zitten doen. Integreren met behulp van circelvormige platte schijfjes is een stuk eenvoudiger.

Ik heb geintegreerd met behulp van dunwandige cilinders, wat ook kan ,maar dat is wat lastiger.

Aad
Omhoog

Bericht 05-11-'10, 23:43

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Primitiveren - ellips

Ik heb geintegreerd met behulp van dunwandige cilinders, wat ook kan ,maar dat is wat lastiger.
Ah zo! Nu zie ik wat je deed, ik geraakte er maar niet wijs uit...

mooie methode trouwens. goed gevonden. iets omslachtiger inderdaad.
---WAF!---
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”