Wetenschapsforum

Hallo,

Stel drie examens tellen samen op tot een totaal van 100%, en tellen stuk voor stuk mee voor respectievelijk 20%, 30%, 50%. Voor elk examen apart moet je 1 uur leren voor 1% van de punten, deze leertijden zijn a, b, en c (dus voor een 10 als eindcijfer is a=b=c=100).

Je wil 76% van de totale 100% v/d punten halen, maar er zo weinig mogelijk moeite voor doen. De moeitefunctie is a² + b² + c² (kwadratisch want het kost 4 keer meer moeite om 10 uur voor een examen te leren dan 5 uur)

Als ik dit wil optimaliseren lijkt het me dat ik te weinig gegevens heb, is dat niet zo? Ik kan geen groot genoeg stelsel vergelijkingen maken. Ik kom tot:

20/100a + 30/100b + 50/100c = 76

en de moeitefunctie minimaliseren, dan is de afgeleide 0:

2a + 2b + 2c = 0

Ik heb hier maar twee vergelijkingen en dat is sowieso te weinig, daarnaast heb ik mijn vraagtekens over de laatste vergelijking want je kan er nog geen negatieve hoeveelheid moeite in stoppen?

Misschien zit ik er inmiddels wat te lang aan maar ik zou graag een duw in de juiste richting willen krijgen...

bedankt!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=minim...y%2B0.5z+%3D+76

Bovenstaande link geeft het antwoord van wolfram alpha op jouw vraag. Aangezien het zo'n mooie uitkomst is ga ik ervan uit dat dit een oefening is in het kader van een of andere les en dat je dus over de nodige theoretische kennis zou moeten beschikken (waarom geven ze anders zo'n oefening?)

Het deeltje theorie dat je voor het oplossen van zoiets nodig hebt is de multiplicator methode van Lagrange. (Ik ga er dus van uit dat deze gekend is).

Strikt gezien heb je de Karush-Kuhn-Tucker methode nodig aangezien je met ongelijkheidsrestricties kampt.

- Stel dat 78% halen minder moeite zou kosten dan 76% halen dan ga je zeker ook tevreden zijn met 78%.

- Je kan niet een negatief aantal uren werken voor een toets en voor een andere toets zodanig werken dat je meer dan 100% haalt.

De KKT voorwaarden laten je toe met deze twee extra zaken rekening te houden. Echter de oefening is zodanig opgesteld dat de KKT eerste orde voorwaarden herleiden naar de Lagrange eerste orde voorwaarden. Er is dus geen probleem als je de eerste niet kent.

Deze korte uitweiding omdat uit je post blijkt dat je inziet dat er iets kan mislopen door een negatieve hoeveelheid moeite. Maar dit is in deze oefening niet van toepassing. Dus je kan gewoon in je theorie kijken naar multiplicator methode van Lagrange en deze gaan toepassen. Hieronder nog enkele tussenstappen adhv welke je kan verifiëren of je op het goede pad zit.

De vorm van de langrangian:
Methode:

Van die functie moet je vervolgens de partiële afgeleide nemen naar x,y,z EN lambda en die eerste afgeleiden moeten gelijk zijn aan nul. Zo verkrijg je een stelsel in 4 onbekenden met 4 vergelijkingen. Dit los je op (gemakkelijkst eerst naar lambda in dit geval).

lambda = 76/0.19 = 400, x=a=40, y=b=60, z=c=100

PS: eigenlijk moet je ook nog controleren of deze NOODZAKELIJKE voorwaarden voor een optimum ook VOLDOENDE voorwaarden zijn. Deze tweede orde voorwaarden ken ik niet vanbuiten.