[wiskunde]

oktagon

Via een andere topic,waarbij het Binomium van Newton en de driehoek van Pascal werden gebruikt,rees bij mij een vraag over het systeem bij de driehoek en een stoppen van een ander systeem erin:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

In het systeem zijn ,van bovenaf bekeken ,de tussenliggende waarden van de coeff. bij de opvolgende rij,steeds de som van de 2 bovenliggende coeff. en dat klopt in de totale driehoek ,hoever je ook gaat.

Als je poogt een systeem te ontdekken in horiz. zin,dan is de 2e rij 11¹ (=11),vervolgens de 3e rij 11²(=121), de 4e rij 11³ (=1331) ,de 5e rij 11⁴ (= 14641) en dan de 6e rij 11⁵ ( =161051) en dat laatste getal wijkt dus af van de driehoek.

Aangezien het horizontale systeem werkt tm rij 5 en zou kunnen doorwerken met de machtsverheffingen en je vergeet het verdubbelingssysteem,vraag ik me af,waarom het Pascal-systeem toch als waar is aangenomen.

Ik probeer dan:

1

11

121

1331

14641

161051

1771561

19487171

21438....

23579..... , etc

Een vergelijking zou je kunnen maken door bijv (a+b)^{6 ,7, 8,etc.} uit te rekenen,maar mijn simpele TI 30 STAT werkt al wel een jaar of dertig op een en dezelfde batterij op wrs.lichtcel,maar kan geen grote algebr.opgaven uitwerken.

Safe

Als je poogt een systeem te ontdekken in horiz. zin,dan is de 2e rij 11¹ (=11),vervolgens de 3e rij 11²(=121), de 4e rij 11³ (=1331) ,de 5e rij 11⁴ (= 14641) en dan de 6e rij 11⁵ ( =161051) en dat laatste getal wijkt dus af van de driehoek.

Wat bedoel je hier? Wat doe je met de getallen in horizontale zin?

oktagon

Wat bedoel je hier? Wat doe je met de getallen in horizontale zin?

Dit bijv. zijn getallen die horizontaal gerangschikt zijn : 14641 en is 11⁴

Safe

Dat is nieuw voor me. Nooit eerder gezien?

Maar waarom zouden we deze getallen. als cijfers, achter elkaar plaatsen? En dat als een getal in het tientallig stelsel waarderen?

Misschien dat optellen in horizontale zin je wat meer houvast geven. En dat is niet toevallig!

oktagon

@Safe:

je bedoelt het als volgt?

som hor.getallen:

1................................................. som =1 =2⁰

1 1............................................... ,, = 2=2¹

1 2 1............................................ ,, =4=2²

1 3 3 1......................................... ,, =8=2³

1 4 6 4 1....................................... ,, =16=2⁴

1 5 10 10 5 1................................. ,, =32=2⁵

1 6 15 20 15 6 1............................. ,, =64=2⁶

1 7 21 35 35 21 7 1......................... ,,=128=2⁷

1 8 28 56 70 56 28 8 1.................... ,,=256=2⁸

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1............ ,,=512=2⁹

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1.,,=1024=2¹⁰

Dat werkt goed als controle systeem,het optelsysteem van Pascal werkt wel makkelijker en de exponenten van 11 gaven maar een beperkte controle!

Dan een volgende vraag:

Voor mij is nog makkelijk uit mijn geheugen te vissen:

(a+b)²= a² + 2ab + b²

en

(a+b)³= a³ + 3a²b + 3 ab²+ b³

maar

(a+b)⁴= a⁴ + 4?a^?b^? +nog wat+ b⁴,

waar haal ik de diverse exponenten van de ab en ba etc vandaan;is dat op de een of andere manier te filteren uit de driehoek van P.?

Ik zie wel een oplossing via een systeem (a+b)ⁿ= etc.met het gebruiken van n!,maar dat vergt veel werk om de n's en de n-faculteiten om te zetten in cijfers.

Graag nog wat bijscholing van je!

oktagon

De coefficienten zijn wel te vissen ui de driehoek,dus het vraagteken achter de 4 kan weg en kan ik dus wel eenvoudig produceren:

(a+b)^4= a^4 + 4a?b? +6 a?b?+ 4a?b?+ b^4, en zou ik pogen: (a+b)^4= a^4 + 4a^3b^2 +6 ab+ 4a^2b^3+ b^4,

maar daar zal mogelijk een fout met de middelste coefficienten gemaakt zijn

Safe

(a+b)^4 betekent dat je vier factoren a+b hebt. Om het product uit te schrijven zal je alle mogelijkheden moeten nemen. Dwz uit elke factor a+b of een a of een b kiezen.

Bv. kies uit alle factoren a+b de a, dat kan maar op één manier, dus 1*a^4

uit een factor een b en de andere 3 de a, op 4 manieren kan ik een factor a+b kiezen en daaruit de b, dus 4*a³b.

Je kan dus nooit meer of minder letterfactoren a en/of b hebben!

Ga verder...

Opm: misschien is het verstandig om (op deze manier!) eerst (a+b)² uit te werken.

oktagon

@ Safe

Bedankt voor je inspanningen om mijn lang bezonken kennis weer boven water te halen;ik ga je methode eens proberen weer eigen te maken.

Als ik overigens een term (factor?) heb van (a+b)^12,13,etc vraag ik mij af of dit alleen wiskundige betekenis heeft of ook wel practisch nu,in mijn langjarige praktijk als bouwkundige met ook veel calculatiewerk was er altijd wel een snelle mogelijkheid om factoren a en b te vinden in getalsvorm,die dan op te tellen en eenvoudig met een exponent te bewerken om een antwoord te krijgen.

In de tijd van Pascal,Newton en de eerdere ontwikkelaar Stiefel van het binomiale systeem zullen er wrs alleen wiskunstige zaken mee zijn berekend,bouwers van kerken en tempels gebruikten ook geen statische berekeningen zover ik weet,terwijl er al wel wiskundig weten was ,zie de astronomie.

De hoogste exponent die ik in mijn vak tegenkom is een factor ql^4 bij doorbuigingsberekeningen,differentaal- en integraalberekeningen met ook 1e en 2e afgeleiden heb ik nooit gebruikt.

De wiskunde zou per vakgroep kunnen worden vereenvoudigd,tenzij het de betekenis van hersentraining heeft.

Safe

Misschien kan ik je verhaal beantwoorden met:

Nieuwsgierigheid is de drijfveer in de wiskunde.

JVV

Dat elfde-macht patroon is toch wel door te zetten. Als je elk getal in de reeks/regel bij elkaar optelt (achteraan beginnen) en steeds met een factor 10 groter maakt, dan is de de som gelijk aan 11^r, waarbij r het regel nummer is.

5e regel = 1 5 10 10 5 1

1 x 100000 = 100000

5 x 10000 = 50000

10 x 1000 = 10000

10 x 100 = 1000

5 x 10 = 50

1 x 1 = 1

------------------------- +

11^5 = 161051

Voor de 6e regel klopt dit ook. En 7e en 8e ook.

Maar waarom klopt dit?

oktagon

En waarom klopt het eerste systeem met de hor.sommatie van de eenheden en dan een reeks 2^n oplevert.

Pascal zal het niet meer navertellen.

Safe

oktagon schreef:En waarom klopt het eerste systeem met de hor.sommatie van de eenheden en dan een reeks 2^n oplevert.

Pascal zal het niet meer navertellen.

Werk eens (1+1)^n uit voor n=1, 2, 3, 4 ...

Opm: het is niet de bedoeling dat je bij het uitwerken 1+1=2 schrijft.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde]

[wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]

Re: [wiskunde]