Raaklijnen aan parameterkrommen.

druidz

Ik ben momenteel zo veel mogelijk oefeningen aan het voorbereiden voor mijn wiskunde examen (onze leerkracht staat bekend voor zijn erg moeilijke examens), en toen kwam ik aan een deeltje van raaklijnen aan paramterkrommen. De meeste oefeningen lukken me er wel van, maar er is er wel eentje die me totaal verward. De oefening gaat als volgt:

"Een punt beweegt zich in het vlak volgens het stelsel parametervergelijkingen

x=cos t

y=cos(4t-1)

en t hoort tot de verzameling [0,2π]

Het lijkt alsof het punt zich beweegt op een deel van de grafiek van een veeltermfunctie van de vierde graag.

Onderzoek of dit het geval is."

Dit is wat ik tot nu toe heb berekend, maar ik ben nu helemaal de kluts kwijt. Heb je de afgeleide van de parameterkromme nodig om dit te berekenen of moet je het stelsel gewoon in een standaardvergelijking y=... zetten?:

Afbeelding

Ik hoop dat iemand me kan helpen

Safe

druidz schreef:"Een punt beweegt zich in het vlak volgens het stelsel parametervergelijkingen

x=cos t

y=cos(4t-1)

en t hoort tot de verzameling [0,2π]

Het lijkt alsof het punt zich beweegt op een deel van de grafiek van een veeltermfunctie van de vierde graag.

Onderzoek of dit het geval is."

Dit is wat ik tot nu toe heb berekend, maar ik ben nu helemaal de kluts kwijt. Heb je de afgeleide van de parameterkromme nodig om dit te berekenen of moet je het stelsel gewoon in een standaardvergelijking y=... zetten?:

Er staat wel: y=cos(4t-1), daar houd je geen rekening mee.

Is het je mogelijk deze kromme (voor jezelf) te tekenen?

druidz

Arf wat is dat weer een domme fout van me!

Ik zal deze oefening morgen opnieuw maken, en ik kan ze inderdaad invoegen in geogebra of me rekentoestel.

Moet ik dan de afgeleide nemen om deze oefening op te lossen of het gewoon in 1 vgl zetten?

Safe

y= cos(4t-1) omzetten naar cos(t) een dan daarvoor x invullen. Je 'ziet' dan als hoogste graad 4.

druidz

Even een dom vraagje daarover :$

hoe kan je de cosinus dan omvormen? een verschil in de cosinus kan je niet zomaar omvormen, je kan ook niet direct 2 afzonderen in de cosinus om er een formule op te te passen. veranderen naar een sinus gaat dan ook weer niet want dan zit je met hetzelfde. Of ga ik het te ver zoeken?

en ook nog een ander soort vraagje: met welk programmatje kan je makkelijk wiskundig schrijven? Ik heb geogebra maar zie dat niet direct staan.

Toch wil ik je al eens bedanken want dit is de tweede maal dat je me helpt

Safe

Ken je de formule voor cos(a-b)?

Daarna cos(4t) omwerken tot cos(t).

Idem sin(4t). Dan heb je tenslotte een y=f(x).

Je hebt geen GRM?

Ik zal nog even naar Geogebra kijken.

druidz

Ow ja ik herriner me ze weer. Mijn gedachten zaten vast bij de verdubbelingsformules en simpson. Ik moet stoppen met te ver te gaan zoeken.

als ik dan uitreken kom ik uit op:

$y = \cos(4t-1) $

$= \cos(4t) . \cos1 + \sin(4t) . \sin1$

$= ( \cos²(2t) - \sin²(2t) ). \cos1 + 2. \sin(2t) . \cos(2t) . \sin1 $

$= ((2 \cos^4t - 1 - 2 \sin²t . \cos²t ) . \cos1 ) + (4 \sint . \cost . (2 \cos²t - 1) . \sin1)$

$= 2x^4 \cos1 - \cos1 - x² \cos1 + 8x^3 \sint \sin1 - 4 \sint \sin1$

Ik hoop dat deze LaTeX werkt en dudielijk is.

hoe raak je dan de (co)sinus 1 kwijt?

Ik merk nu ook op dat het van de vierde graad wordt. En ja ik heb een GRM waar ik dat in kan plotten.

Safe

Je LaTeX werkt niet.

Voor cos(4t) moet je (natuurlijk) alleen de formule met cos²(...) enz gebruiken.

druidz

ik had de latex, na een paar keer mijn code aan te passen, klaar gekregen.

En ik heb cos(4t) telkens veranderd met de formule

$\cos2\alpha=2\cos²\alpha-1$

omdat je dan telkens een deel bekomt dat je later kan vervangen door x. en de sinus ook met zijn verdubbelingsformule.

Safe

druidz schreef:Ow ja ik herriner me ze weer. Mijn gedachten zaten vast bij de verdubbelingsformules en simpson. Ik moet stoppen met te ver te gaan zoeken.

als ik dan uitreken kom ik uit op:

$y = \cos(4t-1) $

$= \cos(4t) . \cos1 + \sin(4t) . \sin1$

$= ( \cos²(2t) - \sin²(2t) ). \cos1 + 2. \sin(2t) . \cos(2t) . \sin1 $

$= ((2 \cos^4t - 1 - 2 \sin²t . \cos²t ) . \cos1 ) + (4 \sint . \cost . (2 \cos²t - 1) . \sin1)$

$= 2x^4 \cos1 - \cos1 - x² \cos1 + 8x^3 \sint \sin1 - 4 \sint \sin1$
Ik hoop dat deze LaTeX werkt en dudielijk is.

hoe raak je dan de (co)sinus 1 kwijt?

Ik merk nu ook op dat het van de vierde graad wordt. En ja ik heb een GRM waar ik dat in kan plotten.

cos(1) en sin(1) hoef je toch niet kwijt te raken, dat zijn constanten.

Maar wat heb je met sin(2t) gedaan, die ben ik wel kwijt in deze afleiding?

druidz

sin(2t) heb ik vervangen met de formule 2cos(t)sin(t)

Safe

Maar waar is sin(t) dan, dan ben ik die kwijt?

druidz

Nu je het zegt zie ik ook dat mijn latex van regel 4, bij die twee puntjes fout geplaatst werd. in plaats van het tweede puntje moest er sint cost staan.

dan wordt het in de laatste regel i.p.v. 8x^3.sin1-4.sin1

8x^3.sint.sin1-4x.sint.sin1

Is dat dan de uiteindelijke uitkomst?

Safe

Je moet krijgen:

$y=(8x^4-8x^2+1)\cos(1)\pm 4\sqrt(1-x^2)(2x^3-x)\sin(1)$

Waar komt die pus-min vandaan?

druidz

vanwaar haal je die vierkantswortel? ik kan volgen tot het eerste deel dat je cos1 afzonderd.

plus-min duidt normaal gezien op het overbrengen van een macht of vierkanswortel denk ik

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Raaklijnen aan parameterkrommen.

Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.

Re: Raaklijnen aan parameterkrommen.