Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Darkwar

Ik moet de convergentie van de getallenreeks onderzoeken via een gezien convergentiecriteria :

$Afbeelding$

nu heb ik eens gezocht op google en hij heeft mij bewijzen en consoorten van het "Basel Probleem" maar het eigenlijk convergentie onderzoek vind ik nergens

Basel problem wikipedia

van convergentiecriteria:

- ratiokenmerk van d'Alambert (vooral bij machten en faculteiten te gebruiken)

- Integraaltest

- Leibniz voor wisselreeksen

Nu lijkt het mij het meest waarschijnlijke om het via de integraaltest te doen?

(omdat ik iets vond over een hyperharmonische reeks)

nu is mijn vraag hoe dit concreet in zijn werk gaat? , of heb ik toch het verkeerde convergentiecriterium vast?

Safe

Een hint:

$\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}<\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}=...$

TD

Nu lijkt het mij het meest waarschijnlijke om het via de integraaltest te doen?

Als je die test gezien hebt (mag gebruiken), dan kan het daar inderdaad vrij eenvoudig mee.

Darkwar

Als je die test gezien hebt (mag gebruiken), dan kan het daar inderdaad vrij eenvoudig mee.

indien we stellen dat f(x) een continue, niet-dalende functie is over

$\lceil 1,{+\infty} \rceil$

$\int_1^ {+\infty} f(x) dx$

=

$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}$

uitwerking....?

Ik weet dat het een oneigelijke integraal is

=

$\frac{1}{p-1}$

Dus is de reeks convergent voor p>1

Aangezien p =2 , mag ik besluiten dat de reeks convergent is

TD

Reeksen van die vorm zijn inderdaad convergent voor p>1.

Darkwar

Reeksen van die vorm zijn inderdaad convergent voor p>1.

En hoe gaat de uitwerking van die oneigenlijke integraal dan precies in zijn werk? (zodat ik zo analytisch kan bewijzen)

$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}=.....?$

Hoe moet ik hier dan overgaan van de integraal in een limiet?

TD

Per definitie: integraal van 1 tot k (k>1) waarbij je dan de limiet voor k naar oneindig neemt. Of wat zoek je precies?

Darkwar

Per definitie: integraal van 1 tot k (k>1) waarbij je dan de limiet voor k naar oneindig neemt. Of wat zoek je precies?

$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}= \lim_{N \to +\infty}\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}=\lim_{N \to +\infty} ....$

Heb ik ondertussen uitgerekend en het klopt

met mijn bevindingen van hierboven, het is wat moeilijk om het met latex zo in te typen

(het is een oneigenlijke integraal van de eerste soort)

TD

Oké!

$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}= \lim_{N \to +\infty}\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}=\lim_{N \to +\infty} \ldots $

De grens in de tweede integraal moet dan natuurlijk wel N zijn.

Darkwar

TD schreef:Oké!

De grens in de tweede integraal moet dan natuurlijk wel N zijn.

ja inderdaad!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks

Re: Onderzoeken van convergentie getallenreeks