Integraal van 1/sin(x)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 25

Integraal van 1/sin(x)

\(\int \frac{1}{sin(x)}dx=\int \frac{sin(x)}{sin^2(x)}dx = \int \frac{sin(x)}{1-cos^2(x)}dx\)
-

substitutie met u=cos(x)

du=-sin(x)dx

-
\(\int \frac{-1}{1-u^2}du = \int \frac{1}{u^2-1}du\)
-

breuksplitsen:
\(1/u^2-1= A/(u+1)+ B/(u-1)\)
\(A=1/(u+1)\)
kies u=1 --> A=
\(1/2\)
\(B=1/(u-1)\)
kies u=-1 --> B=
\(-1/2\)
-
\(\int \frac{1/2}{u+1}-\int \frac{1/2}{u-1}\)
-
\(\frac{1}{2}(ln\left | cos(x) \right |+1)-\frac{1}{2}(ln\left | cos(x)\right |-1)+C\)


echter uit het antwoord komt:
\(ln (tan\left |1/2x \right |+C\)
-

Wat doe ik fout? Ik moet denk ik op een soort van
\(ln(cos(x))-ln(sin(x))=ln\frac{cos(x)}{sin(x)}=ln(tan(x).......\)
uitkomen, maar dit lukt me niet.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Integraal van 1/sin(x)

\(\int \frac{1/2}{u+1}du-\int \frac{1/2}{u-1}du\)
Ik mis hier een regel waardoor (wellicht) de daaropvolgende regel fout gaat.

Ga eens uit van tan(x/2), misschien dat het helpt.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Integraal van 1/sin(x)

\( \frac{1}{u^2-1}\)
is niet
\(\frac{1/2}{u+1}-\frac{1/2}{u-1}\)
maar
\(\frac{1/2}{u-1}-\frac{1/2}{u+1}\)
---WAF!---

Berichten: 25

Re: Integraal van 1/sin(x)

oke, maar als ik de breuksplitsing van jouw gebruik Westy, en ik primitiveer dan kom ik op:
\(1/2ln(u-1)-1/2ln(u+1)+C\)
\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)+C\)


maar dan kom ik nog steeds niet op
\(ln(tan(1/2x))+C\)
???

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Integraal van 1/sin(x)

Ga eens uit van tan ½x = t en voer dan de integratie uit door sin x in t uit te drukken.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Integraal van 1/sin(x)

Het lijkt me niet nodig de integraal nog eens opnieuw te gaan bepalen, de oplossing klopt:
awlandman23 schreef:
\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)+C\)


maar dan kom ik nog steeds niet op
\(ln(tan(1/2x))+C\)
???
Dat is hetzelfde (zie bv. formule 3), het is alleen wat anders geschreven - hangt wat van je oplosmethode af.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Integraal van 1/sin(x)

TD schreef:Het lijkt me niet nodig de integraal nog eens opnieuw te gaan bepalen, de oplossing klopt:

Dat is hetzelfde
en toch blijf ik met een tekenprobleempje zitten waar ik niet direct uit geraak:
\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)\)
\(=1/2 \left(ln(cos(x)-1)-ln(cos(x)+1) \right)\)
\(=1/2 \left(ln \frac{cos(x)-1}{cos(x)+1} \right)\)
\(= ln \sqrt{ \frac{cos(x)-1}{cos(x)+1} } \)
omdat
\(1-cos(x)=2 sin^2 \frac{x}{2}\)
is
\(cos(x)-1=-2 sin^2 \frac{x}{2}\)


en dus
\(= ln \sqrt{ \frac{-2 sin^2 \frac{x}{2}}{2cos^2 \frac{x}{2}} } \)
waar een - teken teveel in staat om het juiste antwoord te bekomen...

waar zit mijn fout?
---WAF!---

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Integraal van 1/sin(x)

\(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)
Waar moet je dus op letten!

Re: Integraal van 1/sin(x)

Deze kan je veel sneller oplossen door de teller gelijk te stellen aan sin^2(x)+cos^2(x) en te splitsen ;)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Integraal van 1/sin(x)

Deze kan je veel sneller oplossen door de teller gelijk te stellen aan sin^2(x)+cos^2(x) en te splitsen ;)
Dat mag je laten zien als deze herleiding is afgerond.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Integraal van 1/sin(x)

Safe schreef:
\(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)
Waar moet je dus op letten!
Dus ipv
\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)\)
Moest er in feite staan
\(1/2ln|cos(x)-1|-1/2ln|cos(x)+1|\)
en omdat
\(|cos(x)-1| = |1-cos(x)|\)
is er natuurlijk verder geen probleem.

Is dat het dan?
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Integraal van 1/sin(x)

Deze kan je veel sneller oplossen door de teller gelijk te stellen aan sin^2(x)+cos^2(x) en te splitsen ;)
of zo kan het ook:
\(\int\frac{1}{sin(x)}dx=\int\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=\int\frac{1}{2\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}cos^2\frac{x}{2}}dx=\int\frac{1}{2tan\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}}dx=\int\frac{d(tan\frac{x}{2})}{tan\frac{x}{2}}=ln\left|tan\frac{x}{2}\right|+C\)
---WAF!---

Reageer