Pagina 1 van 1
Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: vr 10 dec 2010, 22:05
door awlandman23
\(\int \frac{1}{sin(x)}dx=\int \frac{sin(x)}{sin^2(x)}dx = \int \frac{sin(x)}{1-cos^2(x)}dx\)
-
substitutie met u=cos(x)
du=-sin(x)dx
-
\(\int \frac{-1}{1-u^2}du = \int \frac{1}{u^2-1}du\)
-
breuksplitsen:
\(1/u^2-1= A/(u+1)+ B/(u-1)\)
\(A=1/(u+1)\)
kies u=1 --> A=
\(1/2\)
\(B=1/(u-1)\)
kies u=-1 --> B=
\(-1/2\)
-
\(\int \frac{1/2}{u+1}-\int \frac{1/2}{u-1}\)
-
\(\frac{1}{2}(ln\left | cos(x) \right |+1)-\frac{1}{2}(ln\left | cos(x)\right |-1)+C\)
echter uit het antwoord komt:
\(ln (tan\left |1/2x \right |+C\)
-
Wat doe ik fout? Ik moet denk ik op een soort van
\(ln(cos(x))-ln(sin(x))=ln\frac{cos(x)}{sin(x)}=ln(tan(x).......\)
uitkomen, maar dit lukt me niet.
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: vr 10 dec 2010, 22:21
door Safe
\(\int \frac{1/2}{u+1}du-\int \frac{1/2}{u-1}du\)
Ik mis hier een regel waardoor (wellicht) de daaropvolgende regel fout gaat.
Ga eens uit van tan(x/2), misschien dat het helpt.
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: za 11 dec 2010, 00:34
door Westy
\( \frac{1}{u^2-1}\)
is niet
\(\frac{1/2}{u+1}-\frac{1/2}{u-1}\)
maar
\(\frac{1/2}{u-1}-\frac{1/2}{u+1}\)
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: za 11 dec 2010, 13:08
door awlandman23
oke, maar als ik de breuksplitsing van jouw gebruik Westy, en ik primitiveer dan kom ik op:
\(1/2ln(u-1)-1/2ln(u+1)+C\)
\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)+C\)
maar dan kom ik nog steeds niet op
\(ln(tan(1/2x))+C\)
???
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: za 11 dec 2010, 13:35
door mathfreak
Ga eens uit van tan ½x = t en voer dan de integratie uit door sin x in t uit te drukken.
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: za 11 dec 2010, 13:40
door TD
Het lijkt me niet nodig de integraal nog eens opnieuw te gaan bepalen, de oplossing klopt:
awlandman23 schreef:\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)+C\)
maar dan kom ik nog steeds niet op
\(ln(tan(1/2x))+C\)
???
Dat is hetzelfde (zie bv.
formule 3), het is alleen wat anders geschreven - hangt wat van je oplosmethode af.
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: za 11 dec 2010, 22:26
door Westy
TD schreef:Het lijkt me niet nodig de integraal nog eens opnieuw te gaan bepalen, de oplossing klopt:
Dat is hetzelfde
en toch blijf ik met een tekenprobleempje zitten waar ik niet direct uit geraak:
\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)\)
\(=1/2 \left(ln(cos(x)-1)-ln(cos(x)+1) \right)\)
\(=1/2 \left(ln \frac{cos(x)-1}{cos(x)+1} \right)\)
\(= ln \sqrt{ \frac{cos(x)-1}{cos(x)+1} } \)
omdat
\(1-cos(x)=2 sin^2 \frac{x}{2}\)
is
\(cos(x)-1=-2 sin^2 \frac{x}{2}\)
en dus
\(= ln \sqrt{ \frac{-2 sin^2 \frac{x}{2}}{2cos^2 \frac{x}{2}} } \)
waar een - teken teveel in staat om het juiste antwoord te bekomen...
waar zit mijn fout?
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: zo 12 dec 2010, 09:49
door Safe
\(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)
Waar moet je dus op letten!
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: zo 12 dec 2010, 17:23
door turnevies
Deze kan je veel sneller oplossen door de teller gelijk te stellen aan sin^2(x)+cos^2(x) en te splitsen
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: zo 12 dec 2010, 17:56
door Safe
Deze kan je veel sneller oplossen door de teller gelijk te stellen aan sin^2(x)+cos^2(x) en te splitsen
Dat mag je laten zien als deze herleiding is afgerond.
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: zo 12 dec 2010, 23:35
door Westy
Safe schreef:\(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)
Waar moet je dus op letten!
Dus ipv
\(1/2ln(cos(x)-1)-1/2ln(cos(x)+1)\)
Moest er in feite staan
\(1/2ln|cos(x)-1|-1/2ln|cos(x)+1|\)
en omdat
\(|cos(x)-1| = |1-cos(x)|\)
is er natuurlijk verder geen probleem.
Is dat het dan?
Re: Integraal van 1/sin(x)
Geplaatst: zo 12 dec 2010, 23:57
door Westy
Deze kan je veel sneller oplossen door de teller gelijk te stellen aan sin^2(x)+cos^2(x) en te splitsen
of zo kan het ook:
\(\int\frac{1}{sin(x)}dx=\int\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=\int\frac{1}{2\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}cos^2\frac{x}{2}}dx=\int\frac{1}{2tan\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}}dx=\int\frac{d(tan\frac{x}{2})}{tan\frac{x}{2}}=ln\left|tan\frac{x}{2}\right|+C\)