Totale differentiaal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 19-12-'10, 19:10

YeeHaa

Berichten: 26

Totale differentiaal

Ik zit vast bij het nemen van de totale differentiaal van volgende functie:
\((cos(x-y))^{tan(y/x)}\)
Nu weet ik dat de totale differentiaal genomen kan worden door de partiële afgeleide van z naar x, te vermenigvuldigen met dx, op te tellen bij de partiële afgeleide van z naar y, vermenigvuldigd met dy.

Alleen kom ik niet uit bij de oplossing...
\(dz= tan(y/x).(cos(x-y))^{tan(y/x)-1}.(-sin(x-y)).(dx-dy)\)
\(+ (cos(x-y))^{tan(y/x)}. ln(cos(x-y)).\)
\( \frac{1}{cos² (y/x)}.\frac{x.dy-y.dx}{x²}\)
Wat ik niet snap:

Door de regel bij afgeleiden toe te passen
\(a^x = a^x ln a \)
, kan je het eerste deel vinden, maar hoe komt men aan het deel waarbij men de gewone regel toepast (tan (y/x) - 1)...
Omhoog

Bericht 20-12-'10, 08:56

robertus58a

Berichten: 216

Re: Totale differentiaal

Ik neem aan dat je begonnen bent met de natuurlijke log te nemen van het linker en rechter lid. Daarna is het differentieeren wel wat rekenwerk maar toch een recht toe recht aan opgave.
Omhoog

Bericht 20-12-'10, 10:22

YeeHaa

Berichten: 26

Re: Totale differentiaal

Ik ben ook bekend met het logaritmisch differentiëren... En kom hiermee dan ook een oplossing uit, maar niet deze die in het boek staat gegeven.

∂z/∂x = [cos(x - y)]^(tan(y/x)) * [(-sec^2(y/x)/x^2) ln[cos(x - y)] - tan(y/x) tan(x - y)]

∂z/∂y = [cos(x - y)]^(tan(y/x)) * [(sec^2(y/x)/x) ln[cos(x - y)] + tan(y/x) tan(x - y)]

dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy

Waar ik nergens de toegepaste regel
\(Dx^n = nx^{n-1}\)
zie (welke duidelijk in de oplossing gebruikt is)...
Omhoog

Bericht 20-12-'10, 14:42

robertus58a

Berichten: 216

Re: Totale differentiaal

Waar ik nergens de toegepaste regel
\(Dx^n = nx^{n-1}\)
zie (welke duidelijk in de oplossing gebruikt is)...
deze regel wordt niet toegepast, de vorm is slechts en toevalligheid.. Het resultaat waar jij aan refereert is het resultaat van een deling door cos(x-y), nl:
\( ( tan(y/x).(cos(x-y))^{tan(y/x)}.(-sin(x-y)).(dx-dy) ) / (cos (x-y))\)
=


\( tan(y/x).(cos(x-y))^{tan(y/x)-1}.(-sin(x-y)).(dx-dy)\)
Met de laatste resultaten van de part differentiatie krijg je het resultaat uit het boek.

ps. zat wel een klein foutje in je laatste resultaat:

∂z/∂x = [cos(x - y)]^(tan(y/x)) * [(-sec^2(y/x)/x^2) ln[cos(x - y)] - tan(y/x) tan(x - y)]

moet zijn:

∂z/∂x = [cos(x - y)]^(tan(y/x)) * [(-sec^2(y/x)y/x^2) ln[cos(x - y)] - tan(y/x) tan(x - y)]
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”