Toepassing differentiaal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 22-12-'10, 12:59

Darkwar

Berichten: 110

Toepassing differentiaal

Opdracht:

Een kegelvormig vat (top beneden) heeft hoogte h=3 m en straal R=2 m.

Op t=0 is het vat volledig gevuld met water. Het water lekt uit de kegel via een vierkante opening met een zijde van 5 cm.

Bereken na hoeveel tijd het vat nog een derde van het oorspronkelijk volume water bevat.

Stel daarvoor eerst de differentiaalvergelijking op die toelaat om de waterhoogte in het vat in functie van de tijd te bepalen.





Oplossing:

beginvoorwaarde:

Op t= 0
\(I_{kegel}=\frac{\Pi.r^{2}.h}{3}=4.\Pi\)
Oppervlakte vierkante opening O = 0.052=0,0025 m2

Dan veronderstellen een kleiner volume op een later tijdstip en stellen de hoogte van die kegel gelijk aan y en de straal gelijk aan R:

Via gelijkvormigheid bekom ik:
\(\frac{R}{Y}=\frac{2}{3}\R=\frac{2.y}{3}\)
Nu is mijn vraag hoe ik de verandering van inhoud in de tijd beschrijf?

Ik weet dat ik de wet van Torricelli moet gebruiken:

namelijk v=
\(\sqrt{2.g.h}\)
hoe moet ik nu verder om tot een differentiaalvergelijking te komen?

alvast bedankt ;)
Bijlagen
schets_4.jpg
schets_4.jpg (17.06 KiB) 627 keer bekeken
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 14:48

robertus58a

Berichten: 216

Re: Toepassing differentiaal

Via de massabalans: dm/dt = massa_in - mass_uit, (massa_in is in dit geval 0)
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 16:08

Darkwar

Berichten: 110

Re: Toepassing differentiaal

Via de massabalans: dm/dt = massa_in - mass_uit, (massa_in is in dit geval 0)
Moet je dan nergens die uistroomsnelheid in rekening brengen?

instroom = 0

uitstroom =
\(V.\Delta{T}=\frac{\Pi.R^{2}.y}{3}\)
en aangezien dat
\(\R=\frac{2.y}{3}\)
dus

uitstroom=
\(V=\dfrac{\Pi.4.y^{2}.y}{3.9}=\frac{4\Piy^{3}}{27}.\Delta{T}\)
dus indien we nu de balans nemen:
\(\frac{dy}{dt}=-\frac{\Pi.4.y^{3}}{27}.\Delta{T}\)
en dan kan ik die differentiaal oplossen door de beginvoorwaarde dat :

t=0
\(I_{kegel}=\frac{\Pi.r^{2}.h}{3}=4.\Pi\)
Oplossen van differentiaal:

Stel
\(\frac{4\Pi}{27}=K\)
\(\frac{dy}{dt}=K.y^{3}.\Delta{T}\)
Via scheiding der variabelen oplossen:

Indien ik dit oplos bekom ik:
\(y^{-2}=-t^{2}+C\)
Maar hoe kan ik dan zoals het gevraagde bepalen na hoeveel tijd er nog een derde van het oorspronkelijke volume aanwezig is?

Omhoog

Bericht 22-12-'10, 16:51

robertus58a

Berichten: 216

Re: Toepassing differentiaal

Indien y de actuele hoogte is op tijdstip t, dan geldt:
\(V=\frac{\pi.r^2.y}{3}, r=\frac{2}{3}.y\)
dus:
\(V=\frac{4.\pi}{27}.y^3 \)
(zoals jezelf al hebt gevonden)
\(\frac{dV}{dt}= \frac{4.\pi}{27}.y^2.\frac{dy}{dt}\)
, volumestroom uit:
\(Vuit=\sqrt{2.g.y}\)
.
\( \frac{dV}{dt}= -Vuit -> \frac{4.\pi}{27}.y^2.\frac{dy}{dt} = -\sqrt{2.g.y}\)
, hieruit y oplossen door integreren + beginvoorwaarde
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 16:56

robertus58a

Berichten: 216

Re: Toepassing differentiaal

Ik heb een fout gemaakt:


\( \frac{dV}{dt}= -Vuit -> \frac{4.\pi}{27}.y^2.\frac{dy}{dt} = -\sqrt{2.g.y}\)
moet zijn:
\( \frac{dV}{dt}= -Vuit -> \frac{4.\pi}{27}.y^2.\frac{dy}{dt} = -O.\sqrt{2.g.y}\)
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 17:15

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.596

Re: Toepassing differentiaal

Als
\(V=\frac{4\pi}{27} \cdot y^3\)
Moet dan dV/dt niet zijn:
\(\frac{dV}{dt}=\frac{12\pi}{27}\cdot y^2 \cdot \frac{dy}{dt}\)
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 18:32

Darkwar

Berichten: 110

Re: Toepassing differentiaal

aadkr schreef:Als
\(V=\frac{4\pi}{27} \cdot y^3\)
Moet dan dV/dt niet zijn:
\(\frac{dV}{dt}=\frac{12\pi}{27}\cdot y^2 \cdot \frac{dy}{dt}\)
dus daaruit volgt dat :
\(0.\sqrt{2gh}=\frac{12\pi}{27}\cdot y^2 \cdot \frac{dy}{dt}0.0025.\sqrt{2gh}=\frac{12\pi}{27}\cdot y^2 \cdot \frac{dy}{dt}\)
na wat veranderen van de leden:
\(\dfrac{0,0025.27}{12.\Pi}.dt=\dfrac{y^{2}}{\sqrt{2gy}}.dy\)
kan ik die wortel (sqrt(2.g.y) )nu nog splitsen of moet ik die zo meenemen in de dv?

en die differentiaal ga ik nu oplossen met een pakket zoals maple,
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 20:15

robertus58a

Berichten: 216

Re: Toepassing differentiaal

Sorry voor de tweede fout (dank u aadkr!!!!), haastige spoed .........

Nu ben je toch bijna waar je wezen moet:
\(-\dfrac{0,0025.27}{12.\pi}.dt=\dfrac{y^{2}}{\sqrt{2gy}}.dy\)
kan je schrijven als:
\(-\dfrac{0,0025.27.\sqrt{2g}}{12.\pi}.dt=y^{3/2}.dy\)
Integreren met beginvoorwaarde (t=0, y=h, h=2m)

Dan hoogte he bepalen waarvoor geldt dat Ve = V/3. Na subs van y=he kan t bepaald worden.
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 20:56

Darkwar

Berichten: 110

Re: Toepassing differentiaal

robertus58a schreef:Sorry voor de tweede fout (dank u aadkr!!!!), haastige spoed .........

Nu ben je toch bijna waar je wezen moet:
\(-\dfrac{0,0025.27}{12.\pi}.dt=\dfrac{y^{2}}{\sqrt{2gy}}.dy\)
kan je schrijven als:
\(-\dfrac{0,0025.27.\sqrt{2g}}{12.\pi}.dt=y^{3/2}.dy\)
Integreren met beginvoorwaarde (t=0, y=h, h=2m)

Dan hoogte he bepalen waarvoor geldt dat Ve = V/3. Na subs van y=he kan t bepaald worden.
ik heb de differentiaal met Maple opgelost

de y waarbij het volume een derde is van het beginvolume is:
\(V(t)= \frac{V(0)}{3}=\dfrac{4\Pi}{3}\)
\(\dfrac{4\Pi}{3}=\frac{4.\Pi}{27}.y^{3}\)
\(9=y^{3}\)
y=2.08

Na invullen in de opl van de Differentiaalvergelijking bekom ik een tijd van ongeveer 2 seconden
Bijlagen
maple_4.jpg
maple_4.jpg (89.95 KiB) 629 keer bekeken
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 21:23

robertus58a

Berichten: 216

Re: Toepassing differentiaal

Als ik naar dat "vat" kijk: 4 m diameter en 3 m hoog met een tamelijk kleine uitloop (diameter 5 cm) dan geloof ik niet dat er na 2 s 2/3 van de inhoud er uit gelopen is.

Je kan eea ook zeer eenvoudig zelf integreren, stel:
\(\alpha=-\dfrac{0,0025.27.\sqrt{2g}}{12.\pi}.dt=y^{3/2}.dy\)
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 21:43

Darkwar

Berichten: 110

Re: Toepassing differentiaal

robertus58a schreef:Als ik naar dat "vat" kijk: 4 m diameter en 3 m hoog met een tamelijk kleine uitloop (diameter 5 cm) dan geloof ik niet dat er na 2 s 2/3 van de inhoud er uit gelopen is.

Je kan eea ook zeer eenvoudig zelf integreren, stel:
\(\alpha=-\dfrac{0,0025.27.\sqrt{2g}}{12.\pi}.dt=y^{3/2}.dy\)
dan door scheiding der variabelen:
\(\int{\alpha.dt})=\int{y^{\frac{3}{2}}dy\)
\(\alpha.t=\frac{2}{5}.y^{\frac{5}{2}}\)
\(\y(t)=(\frac{5}{2}.\alpha.t)^{\frac{2}{5}}+c\)
nu bepalen we de constante uit de beginvoorwaarde: y(0)=3
\(3=(\frac{5}{2}.\alpha.t)^{\frac{2}{5}}+c\)
als en slechts als C = +3

dus de particuliere oplossing is :
\(y(t)=(\frac{5}{2}.\alpha.t)^{\frac{2}{5}}+3\)
Nu blijft de bepaling van y op het ogenblik van een derde van het volume geldig van hierboven : y= 2.08m

Dit vullen we in in de particuliere oplossing

en we bekomen
\(2.08=(\frac{5}{2}.\alpha.t)^{\frac{2}{5}}+3\)
\(2.08-3=(\frac{5}{2}.\alpha.t)^{\frac{2}{5}}\)
nu kunnen we via solver bekomen dat:

wil hij dat niet uitrekenen

waar zit de fout ergens?

Omhoog

Bericht 22-12-'10, 21:57

robertus58a

Berichten: 216

Re: Toepassing differentiaal

Bij vorige bericht te snel op de verkeerde knop gedrukt:
\(\alpha=\dfrac{0,0025.27.\sqrt{2g}}{12.\pi}\)
, dan
\(-\alpha.dt = y^{3/2}.dy\)
na integratie
\(\frac{2}{5}y^{5/2} = -\alpha t + C\)
met begin voorwaarde t=0, y=h=3 :
\(t=\frac{1}{\alpha}.\frac{2}{5}.(3^{5/2} - y^{5/2})\)
t voor y =
\(\frac{3}{3^{1/3}}\)
(2.08) volgt t=471.5 s
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 22:12

Darkwar

Berichten: 110

Re: Toepassing differentiaal

robertus58a schreef:Bij vorige bericht te snel op de verkeerde knop gedrukt:
\(\alpha=\dfrac{0,0025.27.\sqrt{2g}}{12.\pi}\)
, dan
\(-\alpha.dt = y^{3/2}.dy\)
na integratie
\(\frac{2}{5}y^{5/2} = -\alpha t + C\)
met begin voorwaarde t=0, y=h=3 :
\(t=\frac{1}{\alpha}.\frac{2}{5}.(3^{5/2} - y^{5/2})\)
t voor y =
\(\frac{3}{3^{1/3}}\)
(2.08) volgt t=471.5 s
Heb het eens nagerekend manueel en daarna met Maple en die waarde klopt nu inderdaad!

Maple geeft als waarde t=471.5147742

Bedankt voor de steun ;)
Omhoog

Bericht 22-12-'10, 22:23

robertus58a

Berichten: 216

Re: Toepassing differentiaal

De aanhouder wint. nogmaals verontschuldigingen vanwege de foutjes.
Omhoog

Bericht 28-12-'10, 15:36

iemand111

Berichten: 1

Re: Toepassing differentiaal

Darkwar schreef:Heb het eens nagerekend manueel en daarna met Maple en die waarde klopt nu inderdaad!

Maple geeft als waarde t=471.5147742

Bedankt voor de steun ;)
Darkwar zit toevallig niet aan de kaho? :)

Deze uitleg heeft me veel geholpen ;)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”