Springen naar inhoud

Eigen bewijs van een limiet correct?


  • Log in om te kunnen reageren

#16

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 december 2010 - 14:42

Okej, daar heb je gelijk in. epsilon is niet afhankelijk van x, dat heb ik verkeerd gezegd.


Om even weer duidelijkheid te krijgen begin ik met een redelijk schone lij en de kennis die ik uit de vorige post heb vergaard. Een goed begin lijkt me fernand's post, omdat die denk ik het beste beeld geeft van waar het vastloopt.

Als je schrijft LaTeX


dan hangt delta af van x .

Als je schrijft LaTeX
dan hangt delta niet af van x onafhankelijk van het bewijs dat volgt.


Dit snap ik allemaal. Ik snap dat er in de exacte definitie staat dat je delta moet vastliggen en alleen afhankelijk mag zijn van epsilon (en dus niet meer kan veranderen met x). Daarom is LaTeX fout bij het gebruiken van het bewijs, omdat de variabele x er ook in zit.

Op het einde van mijn eigen bewijs, in mijn eerste post, laat ik als het ware zien dat x geen invloed heeft op het bewijs. Dit omdat |x+3| zichzelf altijd wegdeelt. Volgens de definitie is dit bewijs in het begin al fout gegaan, omdat ik voor delta geen getal maar een functie gebruik en dat mag niet.
Toch komt op het einde van het bewijs het zelfde als de rest van de definitie. Dat:

"als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε. "

Dus ik ga dan denken, als ik hier toch gewoon goed op uitkom moet de definitie niet wat breder gemaakt worden?

Veranderd door extremefun1, 26 december 2010 - 14:53


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#17

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 10057 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 december 2010 - 12:09

Dus ik ga dan denken, als ik hier toch gewoon goed op uitkom moet de definitie niet wat breder gemaakt worden?

Wat bedoel je? Doe een voorstel.

#18

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 18:04

Ik heb wat verkeerde dingen gezegd, zoals dat epsilon afhankelijk is van x. Dit is niet waar.

Om verder te gaan wil ik eigentlijk graag met een redelijk schone lei beginnen met alle kennis die ik heb vergaard. Ik wil graag een post van Fernand gebruiken die goed illustreert waar mijn probleem ligt.

Als je schrijft LaTeX


dan hangt delta af van x .

Als je schrijft LaTeX
dan hangt delta niet af van x onafhankelijk van het bewijs dat volgt.


Ik snap dat de definitie dicteert dat delta een getal moet en en niet afhankelijk mag zijn van x. Daarom is de bovenste delta onjuist, voor het gebruik in het bewijs. Omdat de definitie dat zegt.

Maar stel de definitie zou je wat ruimer nemen en je zou voor delta wel een functie mogen gebruiken. De rest van het bewijs geeft dan geen problemen en dan kom je hetzelfde uit, namelijk:

Als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε.
(Zie de bovenste post).

#19

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 10057 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 december 2010 - 18:30

Nu gaan we 'in een kringetje draaien'. Graag reactie!

Ga dan nu maar eens in op mijn vraag: wat is x eigenlijk in deze limiet?

Veranderd door Safe, 27 december 2010 - 18:31


#20

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 18:51

Je hebt helemaal gelijk. Had gister een post toegevoegd en die leek ineens weg te zijn. Tenminste dat dacht ik, maar dat bleek dus niet zo te zijn . Ik had helemaal niet de ander pagina gezien en postte dus per ongelijk dubbel.

Antwoord op jouw vraag:
x is de variabele van de functie x[kwadraat].



Mijn voorstel:
Als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε.
Hierbij mag de gekozen delta een functie van x zijn, als het geen invloed heeft op de uitkomst van het bewijs.

#21

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 10057 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 december 2010 - 19:06

Ja, maar jij laat die x wel naar 3 gaan, dus ... ? Wat is x eigenlijk?

#22

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 20:50

Ja, maar jij laat die x wel naar 3 gaan, dus ... ? Wat is x eigenlijk?


x is een getal?

Veranderd door extremefun1, 27 december 2010 - 20:51


#23

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 10057 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 december 2010 - 21:05

In je definitie staat heel duidelijk hoe het zit met x. Je moet (eindelijk) eens een conclusie trekken.
Nu houd je jezelf voor de gek en ons erbij.

#24

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 23:28

In je definitie staat heel duidelijk hoe het zit met x. Je moet (eindelijk) eens een conclusie trekken.
Nu houd je jezelf voor de gek en ons erbij.


Sorry, maar ik snap echt niet wat je bedoelt. Ik houdt jullie absoluut niet voor de gek! Als ik zo overkom dan sorry, want dat is absoluut niet mijn bedoeling.

Als je mijn conclusie wil. Hier is hij:

Als ik gebruik maak mijn eigen uitgebreidde definitie en mijn bewijs (zie mijn eerste post) uit op de conclusie dat het bewijs correct is en dat de limiet bestaat.

Ik snap dat ik een denkfout maak(anders hadden wiskundigen voor me de definitie vast wel aangepast), maar ik kan er niet achter komen waarom die uitgebreide definitie niet kan werken. Zelf met alle hulp van de vorige posts.

#25

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 10057 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 28 december 2010 - 12:41

Heb je wel eens een plaatje gezien bij de epsilon-delta definitie?

#26

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 16:57

Heb je wel eens een plaatje gezien bij de epsilon-delta definitie?


Ja is wel een weekje of 2 geleden. Maar die moest je een beetje bestuderen aan het begin van het hoofdstuk.

Dit is het volgens mij:

Geplaatste afbeelding

#27

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 10057 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 28 december 2010 - 17:21

Heel belangrijk. Maar wat zegt die tekening je nu? Pas dit eens toe op jouw limiet.
Kies dan een epsilon bv 0,61, bereken op jouw manier de delta ...

#28

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6894 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2010 - 12:23

Volgens mij is het handig om nog even te schetsen hoe je nu wil valide kunt bewijzen dat:
LaTeX

Eerst iets waar ik later gebruik van ga maken. Stel dat je hebt bewezen dat aan de epsilon-delta definitie voldaan is voor alle LaTeX . Dat wil dus zeggen dat er een LaTeX is zodat als geldt LaTeX dat dan ook geldt LaTeX . Merk op dat voor alle epsilon groter dan LaTeX je nog steeds LaTeX kunt gebruiken, immers:
LaTeX
Kortom als je kunt bewijzen dat de definitie geldt voor alle epsilon kleiner dan een bepaalde waarde dan heb je bewezen dat het voor alle epsilon geldt.

Nu naar het eigenlijke bewijs:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
De extra voorwaarde aan epsilon is om problemen met de wortel te voorkomen. Zoals je hierboven al hebt kunnen zien, heeft dit geen gevolgen voor het bewijs.
LaTeX
en dus:
LaTeX
(waarbij de functie min(x,y) de kleinste waarde van x en y geeft).

#29

WernerP

    WernerP


  • >25 berichten
  • 42 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 23:36

Feitelijk is de definitie van de limiet in a:
LaTeX

De delta bestaat alleen na declaratie van de epsilon,
de x bestaat alleen na declaratie van de delta,
enz.
Alleen de f, de a en de b zijn universeel gedeclareerd omdat ze in het linkerlid van de definitie staan.

Veranderd door WernerP, 12 januari 2011 - 23:36


#30

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24247 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2011 - 18:27

Feitelijk is de definitie van de limiet in a:
LaTeX

Als je het precies wil doen, is dat hierboven nogal beperkend: lang niet alle functies bestaan op heel R; het moet gelden voor x in het domein van f (of een interval rond a dat erin vervat is).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures