Bespreking van je oplossing:
De berekening van de karakteristieke determinant is ok.
De eigenwaarden zijn juist.
De algebraische multipliciteit is goed voor de twee eigenwaarden.
Dan heb je eigenvectoren berekend.
Deel 1: eigenwaarde = 0
Dan heb je eigenvectoren berekend en je bekomt:
x1 = -x3
x2 = -x4
x3 = m (willekeurig)
x4 = w (willekeurig)
Dit is OK
Voor elke waarde van m en w (niet beide nul) krijg je een eigenvector.
Er zijn dus oneindig veel eigenvectoren.
Samen vormen ze de eigenruimte.
Omdat je twee componenten (x3 en x4) willekeurig kan kiezen is de dimensie van de eigenruimte 2.
De geometrische multipliciteit is dus 2. Verder meer daarover.
Deel 2: eigenwaarde = 1
Dan heb je eigenvectoren berekend en je bekomt:
x1 = m (willekeurig)
x2 = w (willekeurig)
x3 = 0
x4 = 0
Dit is OK
Voor elke waarde van m en w (niet beide nul) krijg je een eigenvector.
Samen vormen ze de eigenruimte.
Omdat je twee componenten (x1 en x2) willekeurig kan kiezen is de dimensie van
de eigenruimte 2.
De geometrische multipliciteit is dus 2.
Nu is ook je vraag :'wat zijn dan de eigenvectoren?' beantwoord.
Alles was dus zeer goed.
------------------
Nu iets over die afhankelijkheid en zo.
Het gaat wel over de afhankelijkhed van de vergelijkingen van het stelsel.
Deel 1:
Voor de eigenwaarde 0 krijgen we het stelsel
(Ik schrijf onbekenden x,y,z,t voor het gemak van het typwerk)
[pre]
0x + 0y + 0z + 0t = 0
0x + 0y + 0z + 0t = 0
1x + 0y + 1z + 0t = 0
0x + 1y + 0z + 1t = 0
[/pre]
Het aantal vergelijkingen is 4.
Het aantal onafhankelijke vergelijkingen uit dit stelsel is 2 (namelijk de twee laatste)
Of met de andere korte methode : de rang van de coefficientenmatrix is 2.
De dimensie van de eigenruimte van de eigenwaarde 0 is dus gelijk aan 4 - 2 = 2.
De geometrische multipliciteit van die eigenwaarde 0 is 2.
Je ziet dat je de eigenvectoren niet nodig hebt om de geometrische multipliciteit te bepalen
Deel 2:
Voor de eigenwaarde 1 krijgen we het stelsel
[pre]
-1x + 0y + 0z + 0t = 0
0x + -1y + 0z + 0t = 0
1x + 0y + 0z + 0t = 0
0x + 1y + 0z + 0t = 0
[/pre]
Het aantal vergelijkingen is 4
Ze zijn niet onafhankelijk want de laatste vergelijking is een veelvoud van de tweede.
Laten we de laatste weg dan zijn de eerste drie niet onafhankelijk want de derde
vergelijking is een veelvoud van de eerste.
Laten we de derde ook weg, dan zien we duidelijk dat de eerste twee onafhankelijk zijn
want de ene is geen veelvoud van de andere. Er zijn dus 2 onafhankelijke vergelijkingen.
Of met de korte methode: de rang van de coefficientenmatrix is 2.
De dimensie van de eigenruimte van de eigenwaarde 1 is dus gelijk aan 4 - 2 = 2.
De geometrische multipliciteit van die eigenwaarde 1 is 2.
Je ziet dat je de eigenvectoren niet nodig hebt om de geometrische multipliciteit te bepalen
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
