Springen naar inhoud

Bewijs continuiteit f(x) = 1/x - mag delta van x afhangen?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 22:31

Hallo,

Ik probeer te bewijzen dat de functie f: R\{0} -> R gedefinieerd door f(x) = 1/x continu is.

Hetgeen ik nu heb, ziet er als volgt uit.

Bewijs:
Kies epsilon > 0 willekeurig
laat delta = |c x| epsilon
Er geldt:
|f(x) - f(c )| = |1/x - 1/c| = |1/x -1/c| * |cx/cx| = | x - c | / |cx| < delta / |cx| = epsilon

Daarmee is dan bewezen zijn dat f continu is.

Mijn vraag is of delta inderdaad van x mag afhangen. Ik heb weleens bewijzen gezien waarin delta van c afhangt, maar nog nooit van x? En in z'n algemeenheid; klopt het bewijs hierboven als delta van x af mag hangen/ zijn er betere bewijzen te vinden?

Ik ben bijvoorbeeld ook benieuwd naar of er een betere afschatting van | x - c | / |cx| is, zodat je de x in de noemer weg kan laten (dat kan niet voor |x| < 1)..?

Alvast bedankt!

PS
(ik heb dit forum net ontdekt, en ben nog wat onwennig met de zoekfunctie. Misschien is deze vraag eerder gesteld; in dat geval alvast excuses!)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 23:13

Ja, dat mag. Per definitie is een functie continu als je voor elke x in het domein en elke epsilon > 0 een delta kunt vinden zodat .... Dat is bij jou het geval.

#3

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 23:23

Hm, in een probleem met de definitie van de limiet in een ander topic ( http://www.wetenscha...wtopic=134482); zegt iemand:

"Als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodanig dat ...

Dan bedoelt men daarmee dat eenmaal een epsilon gekozen is, de waarde van delta vastligt en dus niet meer verandert met een x waarde."

Mijn Delta verandert nu wel?
Bedankt voor je reactie!

#4

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 01:01

Je hebt gelijk. Ik keek niet goed. Zoals jij het formuleert mag epsilon niet van x afhangen (en wel van c). Je wilt namelijk bewijzen dat f continu is bij het punt c. Wanneer dat het geval is voor elke c in het domein is de functie continu. De delta mag wel afhangen van c, maar (natuurlijk) niet van x zelf. Ik had de x voor c aangezien. Om mijn fout te herstellen zal ik maar een wat uitgebreidere uitleg geven.

Laat ik voor de duidelijkheid de definitie van continuiteit maar wat duidelijker opschrijven. De functie f is continu in een punt c uit het domein als voor elke epsilon een delta te vinden is zodat voor elke x met |x-c|<delta geldt dat |f(x)-f©|<epsilon. Hieruit volgt al dat delta wel van c mag afhangen, maar niet van x. Immers: Je kiest eerst een waarde voor c en epsilon. Vervolgens zoek je daarbij een waarde van delta. Daarmee krijg je een aantal waardes van x rond c waarvoor je de voorwaarde moet controleren. Aangezien je delta nodig hebt om de waardes van x te bepalen kan delta niet zelf van x afhangen. Wel een intrigerend misverstand eigenlijk.

Nu de vraag hoe je jouw bewijs dan wel doet. Je aanpak gaat grotendeels wel goed. Als ik het een beetje anders formuleer gebruik je: |1/x-1/c| = |(c-x)/cx| = |c-x|/|c||x|. De noemer is kleiner dan delta. Die wil je zo kiezen dat het geheel kleiner is dan epsilon. Om dat voor elkaar te krijgen vermenigvuldig je epsilon met |c| en |x|. Dat laatste kan dus niet. Je moet moet vermenigvuldigen met |c| en iets waarvan je zeker weet dat het kleiner is dan |x|. Dat kan (alleen maar) als epsilon klein genoeg is. Als epsilon (en dus delta) heel klein ligt, weet je zeker dat x in de buurt van c ligt. Dan weet je ook (ongeveer) hoe groot |x| is. Als je bij voorbeeld zeker weet dat delta<|c|/2, weet je ook zeker dat |x|>|c|/2. Daarmee kun je het bewijs rond maken. Om zeker te weten dat delta klein genoeg is, stel je gewoon een maximum. Dus delta = min(|c|/2, ...).

Ik ben benieuwd of het je hiermee lukt het bewijs juist te formuleren. Het probleem dat jij aangeeft is overigens heel relevant. In je bewijs krijg je vaak een uitdrukking waarin je delta herkent vermenigvuldigd met een aantal termen die je moet afschatten. Als die alleen van c afhangen gaat dat prima. Maar, als daar ook nog een x in staat, moet je ook een afschatting van |x| zelf maken. Dat kan niet door delta van x af te laten hangen, maar wel door delta klein genoeg te kiezen zodat x in de buurt van c ligt. Dit zelfde probleem is overigens ook de oorzaak van de discussie die jij citeert. Als je dit snapt ben je al weer een stuk verder.

Groet. Oscar

Veranderd door oscar2, 29 december 2010 - 01:02


#5

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 12:21

Ah heeel erg bedankt voor je uitgebreide reactie, het is al een stuk duidelijker denk ik! *(nouja dat is misschien te zien hieronder ;) ) Nogmaals het proberen afschatten:

AlsLaTeX
In dat geval:
LaTeX

En dus ook:
LaTeX
Dus als ik LaTeX kies, dan staat er LaTeX

Nu alleen nog voor het geval dat LaTeX
dat gebeurt voor alle x in R \ (c/2 , 3c/2)

Hm hier ben ik nog niet helemaal uit. De delta_2 die hieruit volgt komt dan in: delta_eind = inf( c^2 * epsilon, delta_2)
-Ik ga er nog even over nadenken!

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6737 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2010 - 13:28

Alternatief:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Voor het gemak stel ik even dat geldt (dit heeft geen invloed op het verdere bewijs): LaTeX

LaTeX
LaTeX
LaTeX
dus:
LaTeX

#7

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 13:41

Goed gedaan met het bewijs. Niet te lang over nadenken dat laatste. De essentie van het bewijs zit hem erin dat het klopt voor kleine waardes van epsilon (en dus ook delta). Je ziet dat ook EvilBro zbda neemt dat epsilon < 1/c. De delta_2 wordt dus veel envoudiger. Hier zou ik zeggen: delta = min(c/2, epsilon*c^2)

#8

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 13:41

Wow enorm bedankt; dat is een heel handige (en logische) truc om makkelijk aan een delta te komen!
Alleen nog een vraagje.

De precieze definitie van continuiteit is:

f is continu in c, als er voor iedere | epsilon | in R een delta>0 bestaat zondanig dat:
Voor alle x in D (domein van de functie) met |x-c| < delta : |f(x)-f©|< epsilon

f is continu, wanneer dit geldt voor alle punten © in D.

Nu de vraag;
Je gebruikt " Voor het gemak stel ik even dat geldt (dit heeft geen invloed op het verdere bewijs): LaTeX "

Waarom mag dat? Voldoe je dan nog steeds aan dat de definitie geldt voor alle x in D?

#9

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 13:52

Zelfde antwoord. Als epsilon > 1/c bereken je gewoon de delta die bij epsilon = 1/c hoort. Zo vind je voor elke epsilon een delta die aan de voorwaarde voldoet.

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6737 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2010 - 13:58

Nu de vraag;
Je gebruikt " Voor het gemak stel ik even dat geldt (dit heeft geen invloed op het verdere bewijs): LaTeX

"

Waarom mag dat?

Stel dat je met deze voorwaarde voldoet aan de definitie. Er is dan dus een delta waarmee LaTeX als LaTeX . Deze delta is ook te gebruiken voor alle epsilon groter dan LaTeX . Immers:
LaTeX als LaTeX .

#11

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 14:07

Ah ik zie het, bedankt nogmaals!

Dus als ik wil bewijzen datLaTeX gedefinieerd doorLaTeX continu is op R, dan klopt hetgeen hieronder staat? (delta kiezen):

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Kies LaTeX

(je kan dit vast nog verder vereenvoudigen, maar dat vind ik nu wat minder relevant)

Veranderd door Axioma91, 29 december 2010 - 14:12


#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6737 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2010 - 14:22

Ik zou nog wel even eisen dat LaTeX om zo wortels van negatieve getallen te vermijden, maar verder lijkt het me prima.

Veranderd door EvilBro, 29 december 2010 - 14:25


#13

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 14:23

Ah ja inderdaad! Bedankt, jullie hebben me echt enorm geholpen!

#14

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 20:38

De aanpak van EvilBro is in veel situaties toe te passen maar levert wel ingewikkelde uitdrukkingen op. Zelf probeer ik liever eerst de functie af te schatten in de omgeving van x = c. In dit geval zou ik zeggen dat met | x - c | < | c |:

LaTeX

kies daarom: LaTeX

dan geldt: LaTeX

#15

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4192 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 december 2010 - 22:24

In dit geval zou ik zeggen dat met | x - c | < | c |:

Misschien zie iets over het hoofd, maar stel dat x = -1 en c = 5 dan

|-1-5|=6<5 ?
Quitters never win and winners never quit.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures