\( A \in \cc ^{nxn} \)
en stel dat \( \rho = \max_{1 \le i \le n}|\lambda_i| \)
met \( \lambda_i \, (i = 1, 2, \dots, n) \)
de eigenwaardes van A. Laat zien dat er voor elke \(\epsilon >0 \)
een inverteerbare \( X \in \cc ^{nxn} \)
bestaat zodanig dat: \( \|X^{-1}AX\|_2 \le \rho + \varepsilon \)
Kan iemand me op weg helpen?
Ik denk dat ik een idee heb. Als ik gebruikmaak van de Jordan normal form theorem dan is er een matrix V zodanig dat
\(A= VJV^{-1}\)
. Stel dat ik voor X nu neem:\(X= V\)
dan wordt de norm:\( \|X^{-1}AX\|_2 = \|{V^{-1}} VJV^{-1} {V^{-1} }\|_2 = \|J\|_2 = \rho \)
dan geldt er dus zeker voor elke \(\epsilon >0 \)
: \( \|X^{-1}AX\|_2 \le \rho + \varepsilon \)
Klopt dit?
).