De opgave
Find a basis for the subspace
\(V\)
of \(R^3\)
spanned by:\(S = \begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\2 \\-3 \end{bmatrix}, & \begin{bmatrix}4 \\0 \\2 \end{bmatrix}, & \begin{bmatrix}2 \\-4 \\8\end{bmatrix}, & \begin{bmatrix}-5 \\6 \\-13\end{bmatrix}\end{Bmatrix}\)
Matrix opstellen en vegen:\(\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 & -5 \\2 & 0 & -4 & 6 \\-3 & 2 & 8 & -13\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & 3 \\0 & 1 & 1 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
De basis is dus:\(\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\2 \\-3 \end{bmatrix}, & \begin{bmatrix}4 \\0 \\2 \end{bmatrix}\end{Bmatrix}\)
Vervolgens moet uitgezocht worden of de vector:\(\mathbf{b} = \begin{bmatrix}2 \\4 \\-6\end{bmatrix}\)
een lineaire combinatie is van de basis. Je kunt eigenlijk al vrij snel zien dat het
\(\begin{bmatrix}2 \\4 \\-6\end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix}1 \\2 \\-3 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix}4 \\0 \\2 \end{bmatrix}\)
moet zijn. \(a_1 = 2\)
, \(a_2 = 0\)
. Nu kun je \(a_1\)
en \(a_2\)
verkrijgen door de rij operaties bij te houden bij het vegen van de matrix... je krijgt dan \(a_1 = 5a-2b\)
en \(a_2 = 2b-4a\)
. Vervolgens kun je \(a = 2\)
en \(b=4\)
invullen en je krijgt de factoren, 2 en 0.Het voorbeeld
In het boek, zie ook bijlage voor foto, gaat het echter wat anders. Hier staat namelijk een voorbeeld waarvan ik niet snap hoe ik die toepas op de bovenstaande som. Het gaat metname om de laatste stappen die genomen worden. De vector
\(\mathbf{v} = \begin{bmatrix}5 & 4 & 14 & 6 & 3\end{bmatrix}\)
wordt gegeven en daarvan moet ook worden bepaald of het een lineaire combinatie is van het resultaat uit voorbeeld 1, zie bijlage. Verder wordt er gesteldt dat het volgende altijd geldt: \(\mathbf{v} = a_{j1}\mathbf{v}_1 + a_{j2}\mathbf{v}_2 + \ldots + a_{jk}\mathbf{v}_k\)
Waarbij
\(j_1, j_2, \ldots, j_k\)
de kolommen zijn in de geveegde matrix die een spil bevatten. In het voorbeeld zijn dit de kolomen 1,2 en 4. Dus \(j_1 = 1, j_2 = 2, j_3 = 4\)
, dus \(a_{j1} = a_1, a_{j2} = a_2, a_{j3} = a_4\)
en dus uit \(\mathbf{v}\)
volgt \(a_1 = 5, a_2 = 4, a_3 = 6\)
. Waaruit volgt dat \(\mathbf{v} = 5\mathbf{w}_1 + 4\mathbf{w}_2 + 6\mathbf{w}_3\)
waarbij \(\mathbf{w}_i\)
de basis vectoren zijn, zie ook bijlage.Mijn probleem
Nu kom ik bij het feitelijke probleem en vraag. Wanneer ik nu hetzelfde doe als bij mijn opgave. Spillen bevinden zich in de kolommen 1 en 2. Dus
\(j_1 = 1, j_2 = 2\)
, dus \(a_{j1} = a_1, a_{j2} = a_2\)
en dus uit \(\mathbf{b}\)
volgt \(a_1 = 2, a_2 = 4\)
Alleen dit klopt dus niet met \(a_1 = 2, a_2 = 0\)
wat ik heb uitgerekend. Wat doe ik fout of begrijp ik verkeerd m.b.t. het voorbeeld en daaropvolgend de opgave.
sorry was wat te snel hiermee.