Geachte,
Deze opgave wens ik graag te kunnen oplossen:
[attachment=7116:Lineaire...bewijzen.png]
Het ontbreekt mij echter aan de benodigde kennis. Vandaar mijn vraag: wie kan mij op weg helpen door de theorie (en de trucjes hierbij) aan te reiken? (Ik heb dit nog niet mogen vinden via Google'n (op WSF) of in mijn cursussen.)
Hartelijk dank,
Fons
Laatste berichten
-
20:50
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 9
-
20:38
Straatklok loopt 5 minuten voor 7
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
19:07
wig 1
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 165
Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
- Bijlagen
-
- Lineaire_functies__bewijzen.png (38.63 KiB) 802 keer bekeken
-
- Berichten: 244
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
De opgave is een beetje vreemd gesteld. Lineair in welk argument? x, y of z? Misschien bedoelen ze dat je moet laten zien dat ze multilineair zijn. Een functie is nl multilineair als deze lineair is in elk van de argumenten.
Bijv. f(x,y,z) is lineair in x als
f(a*x1+b*x2,y,z)=a*f(x1,y,z)+b*f(x2,y,z), voor constanten a en b willekeurig (hint voor 2: die werkt al niet voor negatieve constanten-> niet lineair).
Omdat je functies vectoren zijn moet je bovenstaande eigenschap nagaan voor elke component en voor elk argument.
Bijv. f(x,y,z) is lineair in x als
f(a*x1+b*x2,y,z)=a*f(x1,y,z)+b*f(x2,y,z), voor constanten a en b willekeurig (hint voor 2: die werkt al niet voor negatieve constanten-> niet lineair).
Omdat je functies vectoren zijn moet je bovenstaande eigenschap nagaan voor elke component en voor elk argument.
-
- Berichten: 165
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Dag Flamey,
Hartelijk dank voor het vlotte antwoord. Ik heb nog wat verder gestoeid. Zie het volgende document:
De benodigde theorie/definitie en bijbehorende propositie is gegeven. Tevens een voorbeeld dat ik nu tracht uit te werken.
Mijn vragen zijn nu:
1. Is A inderdaad gelijk aan B? Mag ik dit zo stellen?
2. Zijn waarden voor A,B en C correct?
3. Hoe laat ik zien / hoe zie ik dat de functie niet lineair is omdat deze niet aan voorwaarde 2 voldoet?
Bijzonder veel dank bij voorbaat,
Fons
Hartelijk dank voor het vlotte antwoord. Ik heb nog wat verder gestoeid. Zie het volgende document:
- scan0001.png (1.73 MiB) 905 keer bekeken
Mijn vragen zijn nu:
1. Is A inderdaad gelijk aan B? Mag ik dit zo stellen?
2. Zijn waarden voor A,B en C correct?
3. Hoe laat ik zien / hoe zie ik dat de functie niet lineair is omdat deze niet aan voorwaarde 2 voldoet?
Bijzonder veel dank bij voorbaat,
Fons
-
- Berichten: 5.679
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Je schrijft
Dat is voldoende om aan te tonen dat f niet lineair is. Als f aan één van beide eisen niet voldoet is f al niet lineair.
\(A=f(\lambda(x_1,x_2))=B\)
, dat is in deze context misschien niet de handigste notatie. Je kunt die eerste regel (met A) weglaten, en gewoon beginnen met \(f(\lambda x_1, \lambda x_2)\)
en dan aantonen dat dat ongelijk is aan \(\lambda f(x_1,x_2)\)
. Dat is voldoende om aan te tonen dat f niet lineair is. Als f aan één van beide eisen niet voldoet is f al niet lineair.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 165
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Hartelijk dank voor de vlotte reactie.
Dus:
K=
L=
En dan mag je dus zeggen dat omdat K niet gelijk is aan L, f niet lineair is daar niet aan één van beide eisen is voldaan.
Ik ga mij buigen over de overige vragen en zal mij hoogstwaarschijnlijk terug opnieuw melden.
Merci voor het helpen,
Fons
Dus:
K=
\(f(\lambda x_1, \lambda x_2)\)
= 2.(3*3)^2-3.3=153L=
\(\lambda f(x_1,x_2)\)
= 3.(2.3^2-3)=45En dan mag je dus zeggen dat omdat K niet gelijk is aan L, f niet lineair is daar niet aan één van beide eisen is voldaan.
Ik ga mij buigen over de overige vragen en zal mij hoogstwaarschijnlijk terug opnieuw melden.
Merci voor het helpen,
Fons
-
- Berichten: 42
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Ik wilde toch even het volgende opmerken, omdat je hier enkele tegenargumenten van lineariteit mooi op een rijtje ziet staan.
Nummer 3 is met een zeer eenvoudig argument te debunken. Een lineaire functie f:V -> W moet het nulelement van V op het nulelement van W afbeelden. Bij nr. 3 is dit niet het geval.
In de overige twee gevallen: om te bewijzen dat iets *niet* lineair is - het vermoeden is meestal al ingegeven door het voorkomen van kwadraten, wortels,...) is het voldoende om 1 tegenvoorbeeld te geven.
De methode omschreven voor 3 werkt echter niet.
Voor nummer 2 is bijvoorbeeld f(-1,-1) = (1,-1) maar -f(1,1) = (-1,-1), terwijl voor een lineaire functie wel waar zou moeten zijn dat af(x,y)=f(ax,ay).
Nummer 1 is IMHO wel lineair, maar je moet de vorm in het rechterlid eerst vereenvoudigen.
Nummer 3 is met een zeer eenvoudig argument te debunken. Een lineaire functie f:V -> W moet het nulelement van V op het nulelement van W afbeelden. Bij nr. 3 is dit niet het geval.
In de overige twee gevallen: om te bewijzen dat iets *niet* lineair is - het vermoeden is meestal al ingegeven door het voorkomen van kwadraten, wortels,...) is het voldoende om 1 tegenvoorbeeld te geven.
De methode omschreven voor 3 werkt echter niet.
Voor nummer 2 is bijvoorbeeld f(-1,-1) = (1,-1) maar -f(1,1) = (-1,-1), terwijl voor een lineaire functie wel waar zou moeten zijn dat af(x,y)=f(ax,ay).
Nummer 1 is IMHO wel lineair, maar je moet de vorm in het rechterlid eerst vereenvoudigen.
-
- Berichten: 165
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Ik ben mij bewust van dit argument. Voor nummer 3, mag ik dit dan zo omschrijven?Nummer 3 is met een zeer eenvoudig argument te debunken. Een lineaire functie f:V -> W moet het nulelement van V op het nulelement van W afbeelden. Bij nr. 3 is dit niet het geval.
Als mijn input gelijk is aan 0, moet ook mijn output gelijk zijn aan 0. Is dit het geval, dan is de functie lineair. (/Kan deze lineair zijn?)
Als x=0 en y=0, dan is mijn output: (0+0+1,z-0+1,0+z-1)=(1,z+1,z-1). Dit is niet gelijk aan 0. Nummer kan dus geen lineaire functie zijn.
Ben benieuwd.
Verder:
- Nummer 1 is inderdaad lineair. Mijn uitwerking is OK bevonden door de docent.
- Nummer 2 kan ik prima volgen.
Grote dank,
Fons
-
- Berichten: 5.679
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Klopt.En dan mag je dus zeggen dat omdat K niet gelijk is aan L, f niet lineair is daar niet aan één van beide eisen is voldaan.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 42
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
Neen, is dit NIET het geval dan is de functie NIET lineair. Is dit WEL het geval dan bewijst het bovenstaande niets. De functie f(x)=x^2 heeft ook de eigenschap dat f(0)=0 maar is ten zeerste niet lineair. De test is dus uitsluitend een laten we zeggen "negatief criterium".Als mijn input gelijk is aan 0, moet ook mijn output gelijk zijn aan 0. Is dit het geval, dan is de functie lineair. (/Kan deze lineair zijn?)
-
- Berichten: 165
Re: Bewijs of functie lineair is; theorie gezocht
OK, het is goed dat U dit benadrukt.Neen, is dit NIET het geval dan is de functie NIET lineair. Is dit WEL het geval dan bewijst het bovenstaande niets. De functie f(x)=x^2 heeft ook de eigenschap dat f(0)=0 maar is ten zeerste niet lineair. De test is dus uitsluitend een laten we zeggen "negatief criterium".
Hartelijk dank,
Fons
