Kan iemand me helpen om het volume te berekenen van een ellips mbv een drievoudige integraal?
f(x,y,z) = x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
Kan iemand mij zeggen wat de grenzen zijn?
Ik was eerst van plan alles te schrijven in bolcoordinaten, maar ik kan de Jacobiaan niet bepalen dan. Iemand een suggestie?
Laatste berichten
-
22:54
Herleiden afmetingen vanaf een foto 12
-
18:53
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18:09
Rotatie van het heelal 32
-
17:19
Ervaringen met "herontdekkingen" 12
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
18 apr
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Volume ellipsoide mbv drievoudige integraal
-
- Berichten: 368
Re: Volume ellipsoide mbv drievoudige integraal
Bereken eerst het volume van het deel waarvoor x>0 y>0 en z>0.
De grenzen voor z bekom je door x en y vast te zetten en z te berekenen voor die x en y
De grenzen gaan dus van 0 tot
We noemen die bovengrens kortweg A.
Eigenlijk integreer je dan een verticaal torentje in functie van x en y.
De grenzen voor y bekom je door naar de doorsnede te kijken van de ellipsoide en het xy-vlak.
Die doorsnede is de ellips
We houden de x vast en integreren naar y tussen de grenzen 0 en
Op dit moment hebben we de inhoud van een schijfje evenwijdig met het yz vlak.
Een derde integratie ontstaat door het resultaat te integreren naar x tussen de grenzen 0 en a.
De integraal is dus
Of dit de meest praktische weg is, is maar de vraag!
De grenzen voor z bekom je door x en y vast te zetten en z te berekenen voor die x en y
De grenzen gaan dus van 0 tot
\( c.\sqrt{1 - (x^2/a^2) -(y^2/b^2)} \)
We noemen die bovengrens kortweg A.
Eigenlijk integreer je dan een verticaal torentje in functie van x en y.
De grenzen voor y bekom je door naar de doorsnede te kijken van de ellipsoide en het xy-vlak.
Die doorsnede is de ellips
\( x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \)
We houden de x vast en integreren naar y tussen de grenzen 0 en
\( b.\sqrt{1 - (x^2/a^2)} \)
We noemen die bovengrens kortweg B.Op dit moment hebben we de inhoud van een schijfje evenwijdig met het yz vlak.
Een derde integratie ontstaat door het resultaat te integreren naar x tussen de grenzen 0 en a.
De integraal is dus
\( \int_0^a dx \int_0^B dy \int_0^A dz \)
Uiteindelijk hebben we de inhoud van een vierde van de ellipsoide.Of dit de meest praktische weg is, is maar de vraag!
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 42
Re: Volume ellipsoide mbv drievoudige integraal
Je kan altijd natuurlijk een geschikt eigen coördinaatstelsel definiëren waarin de ellipsoide makkelijk kan beschreven wordenDiabetic schreef:Kan iemand me helpen om het volume te berekenen van een ellips mbv een drievoudige integraal?
f(x,y,z) = x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
Kan iemand mij zeggen wat de grenzen zijn?
Ik was eerst van plan alles te schrijven in bolcoordinaten, maar ik kan de Jacobiaan niet bepalen dan. Iemand een suggestie?
Definieer namelijk ellipsoïdecoördinaten als
\(\left \{\begin{array}{l}x=\rho a\sin \theta \cos \varphi\\y=\rho b\sin \theta \sin \varphi\\z=\rho c\cos \theta\end{array}\right. \)
met\(\rho \in \left[ 0,1\right] ,\theta \in \left[ 0,\pi \right] ,\varphi \in \left[ 0,2\pi \right] \)
Dan leert een eenvoudige berekening dat je de determinant van de Jacobiaan als volgt vindt:
\(D_{r\theta \varphi }\left( x,y,z\right) =\left\vert \begin{array}{lll}a\sin \theta \cos \varphi & \rho a\cos \theta \cos \varphi & -\rho a\sin \theta \sin \varphi \\b\sin \theta \sin \varphi & \rho b\cos \theta \sin \varphi & \rho b\sin \theta \cos \varphi\\c\cos \theta &\rho c\cos \theta & 0\end{array}\right \vert= abc\rho^² \sin\theta\)
(de berekening laat ik voor jou, is analoog aan die van de bolcoördinaten)Dan volgt eenvoudig dat
\(I=\iiint_{G}dxdydz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}abc\rho ^{2}\sin \theta d\varphi d\theta d\rho\)
\(=abc\int_{0}^{1}\rho ^{2}d\rho \int_{0}^{\pi}\sin \theta d\theta \int_{0}^{2\pi }d\varphi \)
\(=abc\left[ \frac{\rho ^{3}}{3}\right] _{0}^{1}\left[ -\cos \theta \right] _{0}^{\pi }\left[ \varphi \right] _{0}^{2\pi }\)
\(=\frac{4\pi abc}{3}\)
-
- Berichten: 3
Re: Volume ellipsoide mbv drievoudige integraal
Oke, ik snap het. Ellipscoördinaten zijn dus een variant van bolcoördinaten waarbij x=x/a zeg maar.
Dat had ik dus niet gedaan. Ik had mijn rho vervangen door respectievelijk a,b,c en geraakte er dan niet uit.
Nu, dus wel.
Bedankt
Dat had ik dus niet gedaan. Ik had mijn rho vervangen door respectievelijk a,b,c en geraakte er dan niet uit.
Nu, dus wel.
Bedankt
