Differentiaalrekening

flo123

Hallo allemaal,

Ik heb even een vraagje over differentiaalrekeningen.

De opgave luidt: Vind een uitdrukking voor P(t) als

(1) (dP/dt)=K(M-P)

Met P(t) is performance na een bepaalde trainingstijd, M is het maximum te halen niveau, en k een positieve constante.

Het antwoord moet worden: (2) P(t)= M - Me^(-kt)

Mijn eerste gedachte was om bij (1) aan de ene kant P*(dP/dt) te krijgen, en aan de andere kant iets*dt. Dit lukte me echter niet. Tweede poging was om de rechterkant van (2) af te leiden, zodat ik weet waar ik naartoe moet werken. De e-macht blijft dan wel staan, dus ik ga ervan uit dat ik (1) om kan schrijven door een e-macht te gebruiken, ik zie zelf alleen niet hoe. Iemand een ideetje? Of misschien wel een hele andere oplossing?

Alvast bedankt!

Flo

EvilBro

Je kan de rechter kant uitschrijven en dan de term met P(t) er in naar links halen. Je hebt dan een vrij standaard differentiaalvergelijking.

Je kan ook substitueren met:

\(U(t) = M - P(t)\)

en dan eens zien waar dit je brengt.

Succes.

robertus58a

Herschikken van de vergelijking geeft direct een eenvoudige integreerbare vorm:

\(\frac{dp}{dt}=K(m-p)\)

-->

\(\frac{dp}{m-p}=Kdt\)

-->

\(\frac{d(m-p)}{m-p}=-Kdt\)

, ........

flo123

Bedankt allebei! Robertus, bij jou snap ik de laatste stap niet, zou je die even kunnen uitleggen? (dus hoe je naar d(m-p)/(m-p) = -kdt gaat?

Ik kwam zelf uit op:

(1/u)*dP(t) = K*dt

=

(1/(M-P(t))) * dP(t) = K*dt

Als ik dat vervolgens integreer kom ik bijna uit, maar dan mis ik alleen nog de M voor e^-kt aan het eind. Mijn antwoord is dan: P(t) = M - e^-kt

Waar zit dan de fout?

EvilBro

flo123 schreef:Bedankt! Ik heb (M-P(t)) gesubstitueerd met U(t). Vervolgens krijg ik

(1/u)*dP(t) = k*dt

Je moet dP(t) dan ook nog vervangen door -dU(t).

beide kanten primitiveren geeft:

-ln(M-P(t)) = kt

Je mist hier een constante:

\(-ln(M-P(t)) = kt + C\)

robertus58a

Bedankt allebei! Robertus, bij jou snap ik de laatste stap niet, zou je die even kunnen uitleggen? (dus hoe je naar d(m-p)/(m-p) = -kdt gaat?

Aangezien m een constante is: d(m-p) = d(m)+d(-p) = 0 - d(p) = -d(p).

flo123

Oke, nu moet ik alleen nog de oorzaak van de M die ontbreekt in het eindantwoord vinden:

(1/u)*du = -k*dt

beide kanten integreren geeft:

ln(U(t)) = -kt

ln(M - P) = -kt

M - P(t) = e^-kt

P(t) = M - e^-kt

terwijl het moet zijn: P(t) = M - Me^-kt

EvilBro

ln(U(t)) = -kt

ln(U(t)) = -kt + C

flo123

ln(U(t)) = -kt + C

Sorry, was het even vergeten. Maar dat verklaart nog niet de ontbrekende M waar ik naar op zoek ben, weet jij misschien waar die vandaan komt?

EvilBro

\(ln(U(t)) = -kt + C\)

\(U(t) = e^{-kt + C} = e^{-kt} \cdot e^{C} = C_2 e^{-kt}\)

\(M - P(t) = C_2 e^{-kt}\)

\(P(t) = M - C_2 e^{-kt}\)

en dan heb je een beginwaarde probleem. Waarschijnlijk mag je aannemen dat geldt:

\(P(0) = 0\)

flo123

Onwijs bedankt voor je tijd! Hij is me nu helemaal duidelijk. C2 = e^c, en als je de beginconditie invult dan komt eruit dat c2 is M.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Differentiaalrekening

Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening

Re: Differentiaalrekening