Zm, commutatieve ring of een veld?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 5

Zm, commutatieve ring of een veld?

beste watenschapsforummers,

Ik moet voor school een vraag beantwoorden maar ik weet niet echt hoe te beginnen. We moeten het als een soort uitdaging zien, maar het niveau lijkt me nog een beetje hoog. (6de wet wis)

De vraag luidt als volgt:

Zm ,+ , . is een commutatieve ring: of is het een veld?

deze vraag is wat moeilijk voor mij.

Na vele uurtjes zoekwerk op internet kwam ik erachter dat Zm iets te maken heeft met restklasse. Het zou een verzameling zijn: ..., 0-2m ; 0-m ; 0 ; m ; 2m

Nu zit ik nog met de vraag of dit een commutatieve ring of een veld is.

we moeten dit namelijk kunnen bewijzen.

Echter vind ik op internet niet echt duidelijke voorwaarden voor een commutatieve ring. Een gewone ring snap ik wel, maar een commutatieve ring moet volgens mijn leerkracht aan nog meer voorwaarden voldoen (zij gaf als tip een 8-tal voorwaarden, maar ik kan deze nergens vinden).

Ondertussen vond ik wel dat deze verzameling een commutatieve groep is, (via wikipedia althans). Maar ik weet niet echt hoe ik dit moet aantonen. Weet iemand hier raad mee?

Met vriendelijke Groeten

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

Een commutatieve groep (of modulus) worden 5 eigenschappen gedefinieerd:

1. Overal gedefinieerd

2. Associativiteit

3. Neutraal element

4. Invers element

5. Commutativiteit

Dit heeft allemaal betrekking tot de optelling, bij een ring worden nog een aantal eigenschappen van de vermenigvuldiging betrokken, zoals:

6. Commutativitiet

7. Associativiteit

8. Distributiviteit (t.o.v de optelling)

Eventueel ook soms nog rechts-en links distributief, ...

Lukt het je hiermee de eigenschappen aan te tonen?

Bijvoorbeeld als je het moet aantonen voor de Reele Getallen:

Het invers element bijvoorbeeld:

Voor alle aelementen van Reele getallen, bestaat er juist een -a ook een element van de reele getallen zodat: a+(-a)=(-a)+a=0

Zo kan je misschien te werk gaan voor het bewijs van deze klasse.

(...,z-2m, z-m, z, z+m, z+2m,...)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

dubbele post -> mag door een mod gewist worden

Berichten: 5

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

danku siron!

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

danku siron!
Graag gedaan ;)

Ik weet niet of je daar genoeg aan hebt.

Maar je kan het proberen toepassen met die restklasse, zoals ik heb gedaan voor dat invers element:

Je neemt bijvoorbeeld één element van die restklasse, bijvoorbeeld z:

Dan geldt er (na de nodige uitleg van voor alle z,...) dat z+(-z)=0=(-z)+z

Als dit nu ook geldt voor bijvoorbeeld een ander element, bijvoorbeeld: z+4m:

... : (z+4m)+(-z-4m)=0=(-z-4m)+(z+4m)

Je kan zo blijven doorgaan, dus je ziet direct dat de eigenschap geldt.

Misschien dat er mensen hier op het forum zijn die andere suggesties hebben.

Berichten: 5

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

ja want eerlijk gezegd denk ik dat het antwoord verdergaat dan jouw antwoord. Toch bedankt voor de hulp. Met de eigenschappen van de commutatieve groep ben ik al een heel eind verder!

PS: ge ebt van een 0/10 toch een 2/10 kunne make! mercikes!!! ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

turbopoes schreef:ja want eerlijk gezegd denk ik dat het antwoord verdergaat dan jouw antwoord. Toch bedankt voor de hulp. Met de eigenschappen van de commutatieve groep ben ik al een heel eind verder!

PS: ge ebt van een 0/10 toch een 2/10 kunne make! mercikes!!! ;)
:P weet je die uitslag nu al direct? (of bij wijze van spreken :P ) XD

Als je googelt naar 'restklasse wikipedia' staat er volgens mij ook wel een verklaring.

Maar ik vind het ook toch wel moeilijk voor 6e jaar.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

Is m eender welk getal of een priemgetal? In ieder geval is
\(\mathbb{Z}_m\)
niet helemaal wat jij eruit opmaakt. Intuïtief komt het erop neer dat je modulo m doet en alle getallen groter of kleiner dan m-1 of 0 (resp.) identificeert met een getal tussen 0 en m-1. Bijv voor m = 3, is
\(\mathbb{Z}_3 = (\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}) \)
met bijv
\(\bar{0} = \{..., -10, -5, 0, 5, 10, ....\}\)
. Helpt dit je vooruit? Je moet dus gewoon de eigenschappen nagaan voor een zeer beperkt aantal elementen.

EDIT: om te weten of iets een veld is, moet je nagaan of er nuldelers zijn. Dus of er elementen bestaan (x en y), beiden niet 0 (in uw ring) zodat x.y = 0 (dus de 0-streep in uw ring).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

Drieske schreef:Is m eender welk getal of een priemgetal? In ieder geval is
\(\mathbb{Z}_m\)
niet helemaal wat jij eruit opmaakt. Intuïtief komt het erop neer dat je modulo m doet en alle getallen groter of kleiner dan m-1 of 0 (resp.) identificeert met een getal tussen 0 en m-1. Bijv voor m = 3, is
\(\mathbb{Z}_3 = (\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}) \)
met bijv
\(\bar{0} = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ....}\)
. Helpt dit je vooruit? Je moet dus gewoon de eigenschappen nagaan voor een zeer beperkt aantal elementen.

EDIT: om te weten of iets een veld is, moet je nagaan of er nuldelers zijn. Dus of er elementen bestaan (x en y), beiden niet 0 (in uw ring) zodat x.y = 0 (dus de 0-streep in uw ring).
De manier die je gebruikt lijkt me toch wel beter. Ik probeerde het algemeen te doen volgens de eigenschappen, maar ik denk dat Turbopoes dan sneller met problemen zou zitten. Daarom zei ik dat hij/zij best moest wachten tot er anders suggesties worden gegeven ;) .

Berichten: 5

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

lijkt idd een goed idee.

Deze vraag moet ik beantwoorden voor het keuze-uur wiskunde, zonder voorkennis, gewoon onderzoek. 'k had nog nooit gehoord van modulorekenen, restklasse, commutatieve ring,.... :P

Dan is deze vraag moeilijk te doen hoor. Bedankt voor jullie deskundige hulp. ;)

Morgen zal ik dit proberen op te lossen volgens jullie werkwijze. Hoop dat het lukt!

Het is uit de opgave echter niet duidelijk dat je met priemgetallen of gewone getallen moet werken.

Toch vond ik op internet dat dit wel degelijk verschil geeft voor het al dan niet veld (lichaam) zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

Idd ;) . Het zal blijken dat als uw getal niet priem is, er nuldelers zijn... Twee simpele vb: m = 3 vs m = 4.
\(\mathbb{Z}_3 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}\)
En hier kun je door 2 niet-0 getallen (let op: ik zeg nergens dat deze verschillend moeten zijn!) te vermenigvuldigen niet 0-streep uitkomen (denk eraan dat je eigenlijk modulo rekent!). Zie je dit?
\(\mathbb{Z}_4 = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}\)
. Kun je hier 2 getallen vinden zodat je 0-streep vindt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 5

Re: Zm, commutatieve ring of een veld?

nadat ik de restklasse voldoende begrepen had, kon ik jullie tips toepassen en is het gelukt!

danku!!! ;)

Reageer