Ik heb een opdracht gekregen en ik hoop dat jullie mij op weg kunnen helpen.
Er is een beginaantal
\(V_{0}\)
vissen. De vissenpopulatie neemt per week toe doordat er een percentage \(a\)
nieuwe visjes worden geboren. We noemen \(a\)
het geboortecijfer. Het sterftecijfer \(b\)
is het percentage vissen dat door natuurlijke oorzaken overlijdt. Het geboortecijfer is doorgaans hoger dan het sterftecijfer, waardoor er een geboorteoverschot plaatsvindt. Dit overschot noemen we \(\widetilde{\alpha}\)
. Kort gezegd kunnen we nu zeggen dat het aantal visjes met een percentage \(\widetilde{\alpha} = a - b\)
per week zal toenemen, zolang er echter geen echte beperkingen op de leefomstandigheden zijn.In plaats van
\(\widetilde{\alpha}\)
die wordt uitgedrukt in procenten, is het gemakkelijke om te werken met een vermenigvuldigingsfactor \(\alpha = ln(1 + \frac{\widetilde{\alpha}}{100})\)
a) Laat zien dat bij benadering \(\alpha \thickapprox \frac{\widetilde{\alpha}}{100}\)
voor kleine waardes (ten opzichte van 100) van \(\widetilde{\alpha}\)
geldt.[/b]Dit heb ik al kunnen oplossen, denk ik zo. Ik heb voor
\(\widetilde{\alpha}\)
0,1 ingevuld (klein ten opzichte van 100) en dan krijg ik: \(ln(1 + 0,001) \thickapprox ln(1) = 0 \thickapprox 0,001\)
. Ik neem aan dat het zo voldoende aangetoond is. Het is volgens mij niet nodig om met bewijzen o.i.d. te werken.In het vervolg werken we direct met
\(\alpha\)
(oké, heel fijn, dus nu geldt \(\alpha = \frac{\widetilde{\alpha}}{100}\)
?)[/i] Soortgelijke parameters zullen we zonder daar verder nog woorden aan vuil te maken steeds impliciet een dergelijke transformatie veronderstellen. (ik begrijp werkelijk niets van deze zin. Zou iemand deze voor me kunnen 'vertalen'?)b) Laat zien dat het verloop van de vissenpopulatie onder deze aannamen kan worden beschreven met de differentiaalvergelijking
\(\frac{dV(t)}{dt} = \alpha V(t)\)
.Los deze vergelijking op als er
\(V_{0}\)
vissen zijn op tijdstip t = 0.[/b]Ik begrijp nu niet hoe ze op bovenstaande differentiaalvergelijking zijn gekomen. Ik heb zelf uitgevogeld dat voor de vissenpopulatie
\(V(t)\)
geldt: \(V(t) = V_{0} * \alpha ^t\)
(gewoon een exponentieel verband), dus:\(V'(t) = V_{0} * \alpha ^t * ln(\alpha)\)
--> \(V'(t) = V(t) * ln(\alpha)\)
--> \(\frac{dV(t)}{dt} = V(t) * ln(\alpha)\)
.Dus
\(ln({\alpha}) = \alpha\)
?Om het op te lossen voor
\(V(0) = V_{0}\)
maak ik wel gebruik van de gegeven differentiaalvergelijking (er is immers gezegd dat dit aangenomen wordt): \(\frac{dV(t)}{dt} = \alpha V(t)\)
Dat is te herschrijven als \(\frac{dV(t)}{dt} - \alpha V(t) = 0\)
. Dus \(v(t) = K*e^{\alpha t}\)
? Zodanig dat op t = 0 geldt dat \(V(0) = K\)
? Met \(K\)
als constante. Ik vind dit niet echt een oplossing. Hoe moet ik het uitwerken?Buiten de 'natuurlijke sterfte' zullen er ook visjes doodgaan omdat ze gegeten worden door haaien. De kans dat een vis gevangen wordt hangt daarbij zowel af van het aantal vissen als van het aantal haaien
\(H(t)\)
. Als het aantal vissen verdubbelt, zal bij een gelijk aantal haaien het aantal gegeten vissen ook verdubbelen. Daarnaast, als het aantal haaien verdubbelt, zal bij een gelijk aantal vissen het aantal gegeten vissen ook verdubbelen. We gebruiken de parameter \(\beta\)
om de kans op een fatale ontmoetingen tussen één haai en één vis per week.c) Druk het hierboven beschreven verband uit in een formule. Zodat je een nieuwe differentiaalvergelijking krijgt voor het verloop van de vissenpopulatie.
I have no idea.
Alvast bedankt voor de moeite om dit te lezen en ik hoop op goede hulp =)
). Al van L'Hopital gehoord? Zoja, bereken dan eens 
. Misschien kan het simpelder, maar zo zou ik het aanpakken.