Lineaire deelruimtes & opspansels

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 19-01-'11, 23:14

Yamibas

Berichten: 164

Lineaire deelruimtes & opspansels

Hallo,

Ik ben aan het studeren voor mijn tentamen. Maar ik snap niet goed als je een Lineaire deelruimte hebt, hoe je dan aan kan tonen dat een opspansel T hetzelfde dezelfde ruimte op moet spannen als opspansel S. Ook weet ik niet wat ik mezelf bij coördinatenvector voor moet stellen. In de bijlage (of zie de link aan het einde) zit een oud tentamen van mijn opleiding en ik snap vraag 3 hiervan (betreft dit onderwerp) niet goed. Zou iemand mij dit onderwerp willen uitleggen (a.u.b. niet vraag 3 voor me uitwerken, dit wil ik zelf doen als ik het denk te begrijpen.) Alvast bedankt.

P.S.: Als het niet helemaal duidelijk is wat ik niet begrijp dan moet je het zeggen ;) !

P.S.S.: Als je het bestandje niet wilt downloaden hier is de link: http://www.win.tue.nl/~lhabets/math-onderw...t2Y650apr10.pdf
Bijlagen
tent2Y650apr10.pdf
(48.46 KiB) 136 keer gedownload
Omhoog

Bericht 20-01-'11, 10:58

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Ik ben geen 500% zeker dat deze methode de beste of kortste is, maar hoe ik het zou aanpakken, is:

1) Bewijs dat deze 3 vectoren (w1, w2, w3) lineair onafhankelijk zijn... Je weet hoe dit moet?

2) Bewijs dat ze voortbrengend zijn voor V. Dit weet je ook veronderstel ik?

Als er aan deze 2 voorwaarden is voldaan, dan heb je bewezen dat {w1, w2, w3} een basis is voor V. En dus dat, in het algemen geval, basis T en S dezelfde ruimte voortbrengen. Namelijk V.

Een coordinatenvector bevat de coordinaten ten opzichte van EEN basis. Stel effe dat we in R3 werken. Dan is de eenheidsbasis (1, 0, 0) (0, 1, 0) en (0, 0, 1). Tov deze basis is een coordinatenvector gewoon het beschreven punt. Dus bijv (1, 1, 1) is ook "écht" het punt (1, 1, 1) in R3. Maar stel nu dat je basis (1, 0, 0) (1, 1, 0) (1, 1, 1) was. Dan zou de coordinatenvector om het punt (1, 1, 1) uit te drukken (0, 0, 1) moeten zijn. Dus 0*(1, 0, 0)+0*(1, 1, 0)+1*(1, 1, 1).

Een coordinatenvector (a, b, c) ten opzichte van basis v1 v2 v3, zegt dus dat uw vector gegeven wordt door a*v1+b*v2+c*v3

Hopelijk is dit wat duidelijk?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 20-01-'11, 12:56

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Dat eerste weet ik, maar wat bedoel je precies met dat 2e?
Omhoog

Bericht 20-01-'11, 13:11

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Een verzameling vectoren is voortbrengend voor V, als je er ieder element v uit V mee kunt voortbrengen, dat wil zeggen schrijven als lineaire combinatie.

Aangezien {v1,v2,v3} een basis is voor V, volstaat het om aan te tonen dat je v1, v2 en v3 kunt schrijven als lineaire combinatie van w1,w3,w3.

Aanvullend moet je ook nog opmerken dat {v1,v2,v3} en {w1,w2,w3} evenveel elementen hebben. Anders zou je namelijk ook een stelsel vectoren {w1,w2,...wn} (met n>3) kunnen hebben waarvoor bovengenoemde 2 eisen ook gelden, maar die een grotere (hogerdimensionale) ruimte opspannen waarvan V een deelruimte is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 20-01-'11, 13:52

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Dus 3a) zou worden dat de ze een lineaire combinatie zijn van elkaar (is gegeven). En vervolgens werk vul je de waardes in:

A*w1+B*w2+C*w3 = (0, 0, 0)^T

Na wat omschrijven krijg je:

D*v1+E*v2+F*v3 = (0, 0, 0)^T

en D, E, F zijn wat bij mekaar gegooide alfa's uit de vraag met eventueel een vermenigvuldiging ervoor. Heb ik daarmee dan aangetoond dat {w1, w2, w3} lineair onafhankelijk zijn?
Omhoog

Bericht 20-01-'11, 14:27

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Ik denk wel dat je het idee juist snapt ja. Alleen wel voorzichtig zijn. Om aan te tonen dat w1 w2 en w3 lineair onafh zijn, neem je A B C zodat A*w1+B*w2+C*w3 = "nulvector".

TB: A = B = C = 0

Dit ga inderdaad bewijzen door terug te werken naar v1 v2 en v3. Want je weet dat de coefficienten bij v1 v2 en v3 0 moeten zijn om de nulvector te bekomen. En daaruit kun je dan halen dat A = B = C. Snap je wat ik bedoel? Ik zeg het gewoon omdat ik niet zeker wist of je dit ook zo deed, anders moet je eens een "grotere" uitwerking geven. Eventueel ingescand.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 20-01-'11, 21:25

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Ik zal later op deze avond even een foto van me werk maken :P en erop zetten. Alvast bedankt ;)
Omhoog

Bericht 21-01-'11, 00:31

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Zo ben ik weer ^^. Hier even een foto van me uitwerkingen (hoop dat hij goed te lezen is, vallen een aantal dingen af aan de zijkant maar die zijn niet echt belangrijk).

http://img411.imageshack.us/img411/73/20110121001923.jpg

Echter bij 3b) snap ik het principe een beetje, maar ik weet niet echt hoe ik moet beginnen.... en 3c) begrijp ik totaal niet. Zou iemand dit wat kunnen verduidelijken? Alvast bedankt ;)

P.S.: Drieske I like your quote :P even voor de lol:

http://talklikeaphysicist.com/wp-content/u...ation-shirt.jpg :P
Omhoog

Bericht 22-01-'11, 10:47

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Okee, je snapt het idee uit men vorige post van een coordinatenvector?

Dan weet je dus dat
\(u = 1 v_1 - 3 v_2 + 2 v_3\)
. Gevraagd zijn nu
\(\lambda_0, \lambda_1, \lambda 2\)
zodat:
\(u = \lambda_0 w_1 + \lambda_1 w_2 + \lambda_2 w_3\)
. Maar we weten nu dat
\( \lambda_0 w_1 + \lambda_1 w_2 + \lambda_2 w_3 = u = 1 v_1 - 3 v_2 + 2 v_3\)
. Verder weten we ook hoe we
\(w_i\)
(i = 1..3) moeten uitdrukken in
\(v_1, v_2, v_3\)
... Dit invullen in
\( \lambda_0 w_1 + \lambda_1 w_2 + \lambda_2 w_3 = 1 v_1 - 3 v_2 + 2 v_3\)
geeft je je
\(\lambda_i\)
(i = 1...3).

Geraak je er zo uit?

Voor c): de overgangsmatrix is een matrix A zodanig dat:
\(\begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\w_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}\)
.

Geraak je zo er overal uit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 22-01-'11, 13:04

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Bedankt voor je hulp, maar in de vraag wordt toch de coordinatenvector t.o.v. basis T gegeven? Is het dan niet:
\(u = 1 w_1 - 3 w_2 + 2 w_3\)
i.p.v.
\(u = 1 v_1 - 3 v_2 + 2 v_3\)


Ga ik nu even de vraag uitwerken bedankt ;)
Omhoog

Bericht 22-01-'11, 13:06

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

My mistake... Tis inderdaad ten opzichte van T. Dan wordt het:
\( \lambda_0 v_1 + \lambda_1 v_2 + \lambda_2 v_3 = 1 w_1 - 3 w_2 + 2 w_3\)
.

EDIT: ivm die overgangsmatrix ben ik niet echt vertrouwd met de notatie van jouw docent. Of hij nu bedoelt de overgang van T naar S of van S naar T weet ik niet. Maar op zich verandert dit niets aan het idee in se.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 22-01-'11, 13:26

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Ik mag weer mijn bericht om een of andere rede niet wijzigen. Dus maar weer een nieuwe post.

b kom ik uit (heb de berekeningen wel volgens mij bovenstaande post uitgevoerd). Ik kom uit op (3, -1, 3)^T. Maar bij c loop ik toch vast. Ben al weer zo ver inmiddels dat ik weet dat
\(P_(T<-S)*[u]_S = [u]_T\)
met
\([u]_S=(3, -1, 3)^T en [u]_T=(1, -3, 2)^T\)
. Maar ik snap niet zo goed hoe ik hier de matrix uit kan bepalen... Dit is eigenlijk nog het enige wat ik niet begrijp. Bedankt ;)

Ik lees nu mijn schrift door en om eerlijk te zijn weet ik ook niet goed hoe mijn docent het bedoelt.... Volgens mij is P_s<-t hoe je van s naar t gaat. Als ik zo het voorbeeld zie dat hij heeft gegeven :P
Omhoog

Bericht 22-01-'11, 13:45

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Mag hem weer niet bewerken dus:

P_s<-t betekent hoe je van de coordinatenvector van T naar de coordinatenvector van S gaat. Nu weet ik het zeker ^^.
Omhoog

Bericht 22-01-'11, 13:49

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

b) klopt alvast ook ;) .

Bij c)... Je moet daar uw u niet voor gebruiken. Je moet uw basissen gebruiken. Je gaat het verband tussen S en T uitdrukken. Dus zoek je een matrix zodat
\(\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\v_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{pmatrix}\)
Ik leg het even uit voor de eerste basisvector
\(v_1\)
. Dit wordt dus:
\(v_1 = a_{11} w1 + a_{12} w_2 + a_{13} w_3 = a_{11}(2 v_1 + v_3) + a_{12} (v_1 + v_2) + a_{13} (2 v_1 + v_2 + v_3)\)
.

Dit moet je nu "schikken" volgens v1 v2 en v3 en dan je wat bij v1 staat gelijk aan 1 stellen, bij v2 en v3 gelijk aan 0.

PS : er bestaat nog een "andere" manier, maar deze hierboven is vrij basic en mss makkelijker

Verborgen inhoud
De matrix die het verband tussen T en S geeft is heel simpel. Bekijk mar eens goed het gegeven, samen met:
\(\begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\w_3\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}\)
Dus beetje slordig genoteerd s dit: S = A*T. Dus
\(T = A^{-1} S\)
. Dus A bekomen via het verband tussen T en S geeft u het verband tussen S en T (de gevraagde). Snap je? In se is dit natuurlijk de methode van hierboven, maar misschien ben je niet genoeg "thuis" in algebra...


EDIT: Je weet dat er
\(P_{T \leftarrow S}\)
gevraagd is? Mijn post was dus bedoeld op uw eerste antwoord :P . Je ziet mar oft nog nuttig is :P .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 22-01-'11, 14:54

Yamibas

Berichten: 164

Re: Lineaire deelruimtes & opspansels

Oke snap het. Ook gewoon heel logisch, maar waarom stel je v1 gelijk aan 1 en v2 en v3 gelijk aan 0? Waar haal je dat vandaan?

En ja ik weet dat
\(P_{T \leftarrow S}\)
is gevraagd, maar werkwijze is hetzelfde (en kan desnoods nog inverteren). Dus dat zit wel goed.
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”