Een orthogonale basis voor deelruimte w :)

casper11

Hallo,

Ik heb een vraag over een som waarbij je de orthogonale basis moet uitrekenen van een subspace W uit de vectoren b1,b2,b3.

b1 en b2 staan loodrecht op elkaar. b3 staat niet loodrecht op deze twee vectoren.

b1=[1,-1,-1,1]^T

b2=[3,3,1,1]^T

b3=[3,2,1,4]^T

Oke dat begrijp ik, maar wat ik niet begrijp is waarom b3 vervangen dient te worden door een b3' (volgens het antwoordenmodel)

b3' wordt gemaakt door: b3 - ((b3*b1/b1*b1)b1 +(b3*b2/b2*b2)b2) geeft: b3'=[-1,0,1,2]^T

Deze b3' is vervolgens de orthogonale basis voor W.

Waarom betrek je vervolgens niet b1 en b2 bij de basis ( is dat omdat ze niet lineair afhankelijk zijn van b3)?

(ik dacht eerst nog aan het Gram Schmidt proces, maar dat lijkt ook van de baan, omdat men bij deze methode geen gebruik maakt van orthogonale vectoren om de orthogonale basis te vormen.)

alvast bedankt,

Casper

Fernand

Het doel is een orthogonale basis maken vertrekkend van b1, b2, b3.

b1 en b2 zijn reeds orthogonaal , dus daar moet niets aan veranderd worden

en dit kunnen we als startpositie gebruiken.

b3 staat noch orthogonaal op b1 noch orthogonaal op b2.

Maar b3 is ook lineair onafhankelijk van b1 en b2.

Dus b1, b2 en b3 vormen reeds een basis van de subspace W, maar die basis is niet orthogonaal

We kunnen nu met b3 een nieuwe vector b3' maken door ervoor te zorgen dat

b3' orthogonaal is met b1 en orthogonaal is met b2.

b1 en b2 worden dus wel betrokken bij het proces.

Dit gebeurt door de vector b3 te verminderen

met de loodrechte projectie van b3 op b1 en

met de loodrechte projectie van b3 op b2 .

Het resultaat is dan b3' die orthogonaal is met b1 en b2.

Het resultaat is dan een orthogonale basis (b1, b2, b3') in W.

En b1 en b2 zijn betrokken bij de nieuwe basis ( en niet b3' alleen)

Fernand

(ik dacht eerst nog aan het Gram Schmidt proces, maar dat lijkt ook van de baan, omdat men bij deze methode geen gebruik maakt van orthogonale vectoren om de orthogonale basis te vormen.)

In het Gram Schmidt proces is het de bedoeling om een orthogonale basis te vormen waarbij die

basisvectoren bovendien genormeerd zijn. Het zijn dus eenheidsvectoren geworden.

In dit geval spreekt men ook van een georthonormeerde basis. (orthogonaal en genormeerd)

In het Gram Schmidt proces vertrekt men niet noodzakelijk van orthogonale vectoren.

Maar in de oefening hier zijn de gegeven vectoren ook niet alle orthogonaal met elkaar.

casper11

Hartelijk dank voor je antwoord, nadat ik nogmaals naar de som had gekeken vandaag kreeg ik ook al zo'n donkerbruin vermoeden dat het toch het Gram Schmidt proces betrof.

Voor de totaliteit moet je dus zeggen dat de basis wordt gevormd door de drie vectoren b1, b2 en b3', het is wat mij betreft vreemd dat men in het antwoorden model van het tentamen deze twee vectoren (b1 en b2) niet vermeld. Is dat fout, of volstaat dat antwoord?

Fernand

Het is werkelijk zo dat (b1, b2, b3') een nieuwe orthogonale basis vormen van W.

Ik zou dat zeker zo volledig vermelden.

Merk ook op dat die drie vectoren b1, b2, b3' niet genormeerd zijn!

Maar als men alleen orthogonale basis vraagt is dit voldoende.

Let dus op het verschil tussen orthogonale basis en orthonormale basis.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Een orthogonale basis voor deelruimte w :)

Een orthogonale basis voor deelruimte w :)

Re: Een orthogonale basis voor deelruimte w :)

Re: Een orthogonale basis voor deelruimte w :)

Re: Een orthogonale basis voor deelruimte w :)

Re: Een orthogonale basis voor deelruimte w :)