Eigenfuncties van kwantumoperatoren

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 997

Eigenfuncties van kwantumoperatoren

In mijn boek kwantummechanica spreken ze over golffuncties
\(\psi ( \bold{r} , t)\)
van een systeem, die dan een oplossing zijn van de Schrödingervergelijking. Dan definiëren ze eigenfuncties
\({ \psi }_{ \alpha } ( \bold{r} )\)
en eigenwaarden
\(a_{ \alpha }\)
van observabelen
\(\widehat{A}\)
volgens de voorwaarde
\(\widehat{A} {\psi}_{\alpha}( \bold{r} )=a_{ \alpha} {\psi}_{ \alpha} ( \bold{r} )\)
. Kan iemand mij uitleggen waarom hier plots de tijd-afhankelijkheid weggelaten wordt?
\(\bold{r}\)
is de positie

Berichten: 254

Re: Eigenfuncties van kwantumoperatoren

De golffuncties zijn niet noodzakelijk de eigenfuncties van de operator A, maar ze zijn eigenfuncties van de Hamiltoniaan.
\(\psi ( \bold{r} , t) \)
is een lineaire combinaties van eigenfuncties van
\(\hat{H} \)
. Die
\({ \psi }_{ \alpha } ( \bold{r} )\)
is iets anders (of kan iets anders zijn) dan
\(\psi ( \bold{r} , t) \)
. Waarom die exact tijdsonafhankelijk zijn...

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.088

Re: Eigenfuncties van kwantumoperatoren

Het lijkt erop alsof de gedefinieerde eigenfuncties wel eigenfuncties van operator A zijn en niet van de Hamiltoniaan H. Ze zijn niet eens per se tijdsonafhankelijk, zelfs als operator A dat wel is. Neem bijvoorbeeld als operator A wel de Hamiltoniaan H, dan kun je er nog een tijdsafhankelijke fasefactor aan vast plakken en is het nog steeds een eigenwaarde. Volgens mij werkt als tegenvoorbeeld voor operator A ook de eenheidsoperator I, waar je ook gewoon nog tijdsafhankelijke factoren aan vast kan plakken.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Eigenfuncties van kwantumoperatoren

Ik heb, als ik het me goed herinner, zelf quantummechanica geleerd door eerst de 'tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking' op te lossen. Ik weet niet precies meer hoe dat ging, maar het kwam er inderdaad op neer dat je dan statische functies krijgt, die je vervolgens met een tijdsafhankelijke factor moet vermenigvuldigen om een oplossing van de gewone schrödingervergelijking te krijgen.

Vervolgens kan men (dacht ik) laten zien dat oplossingen van de gewone schrödingervergelijking altijd geschreven kunnen worden als lineare combinaties van oplossingen van de tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking, met tijdsafhankelijke factoren.

in elk geval, ik heb het geleerd uit het boek 'Introduction to Quantum Mechanics' van D.J. Griffiths. Uitstekend boek!
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Eigenfuncties van kwantumoperatoren

Het lijkt erop alsof de gedefinieerde eigenfuncties wel eigenfuncties van operator A zijn en niet van de Hamiltoniaan H. Ze zijn niet eens per se tijdsonafhankelijk, zelfs als operator A dat wel is. Neem bijvoorbeeld als operator A wel de Hamiltoniaan H, dan kun je er nog een tijdsafhankelijke fasefactor aan vast plakken en is het nog steeds een eigenwaarde. Volgens mij werkt als tegenvoorbeeld voor operator A ook de eenheidsoperator I, waar je ook gewoon nog tijdsafhankelijke factoren aan vast kan plakken.


Dat dacht ik dus ook. Blij dat er nog iemand zo denkt.

Berichten: 254

Re: Eigenfuncties van kwantumoperatoren

Math-E-Mad-X schreef:Ik heb, als ik het me goed herinner, zelf quantummechanica geleerd door eerst de 'tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking' op te lossen. Ik weet niet precies meer hoe dat ging, maar het kwam er inderdaad op neer dat je dan statische functies krijgt, die je vervolgens met een tijdsafhankelijke factor moet vermenigvuldigen om een oplossing van de gewone schrödingervergelijking te krijgen.

Vervolgens kan men (dacht ik) laten zien dat oplossingen van de gewone schrödingervergelijking altijd geschreven kunnen worden als lineare combinaties van oplossingen van de tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking, met tijdsafhankelijke factoren.

in elk geval, ik heb het geleerd uit het boek 'Introduction to Quantum Mechanics' van D.J. Griffiths. Uitstekend boek!
Idd, dat had ik eerst ook geantwoord, maar later gezien dat dat niet eigenlijk zijn vraag is. Hij heeft het over algemene eigenfuncties van observabelen A.

Wat je doet is, dat als de Hamiltoniaan tijdsonafhankelijk is, dan kan je de eigenfunctie opsplitsen in
\(\psi ( \bold{r} , t) = \phi ( \bold{r} ) \Phi (t)\)
Je kan dan scheiding van de variabelen toepassen.

Je krijgt dat een algemene oplossing gegeven wordt door
\(\psi ( \bold{r} , t) = \Sigma_{\alpha} c_{\alpha}(t) \phi_{\alpha} ( \bold{r} ) e^{\frac{-i E_{\alpha}t}{\hbar}}\)
met
\( \hat{H} \phi_{\alpha} ( \bold{r} ) = E_{\alpha} \phi_{\alpha} ( \bold{r} )\)

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Eigenfuncties van kwantumoperatoren

Volgens mij had uiteindelijk physicalattraction het bij het rechte eind. Het gaat niet meer om golffuncties die een deeltje voorstellen maar enkel om oplossingen van de vergelijking
\(\widehat{A} {\psi}_{\alpha}( \bold{r} )=a_{ \alpha} {\psi}_{ \alpha} ( \bold{r} )\)
en aangezien de observalen
\(\widehat{A}\)
geen functie van de tijd zijn is de tijd in de oplossingen
\({ \psi }_{ \alpha } ( \bold{r} )\)
irrelevant. Deze kan naar believen ingevuld worden in de constante term van de oplossing.

Gebruikersavatar
Berichten: 71

Re: Eigenfuncties van kwantumoperatoren

Officieel zijn er twee beelden mogelijk. Het eerste is dat je de tijdsafhankelijkheid in de toestandsfunctie stopt. Dit beeld wordt het Schroedingerbeeld genoemd. Het tweede beeld zet de tijdsafhankelijkheid in de operatoren (of matrices). Dit wordt het Heisenbergbeeld genoemd. Beide benaderingen leveren uiteidelijk dezelfde verwachtingswaarden voor de eigenschappen van de deeltjes op. Het komt in feite omdat kwantummechanica in een Hilbertruimte wordt uitgevoerd. De eenheidsbol in deze ruimte is een zo genaamde "affine space", een ruimte zonder oorsprong. Het maakt niet uit of je met de Hilbertvectoren die de toestand beschrijven schuift of dat je in tegengestelde richting met de eigenvectoren van de operatoren schuift. Het gaat er alleen om hoe deze ten opzichte van elkaar (als functie van de tijd) verschuiven.

Overigens heeft de oorspronkelijke vraag kennelijk te maken met de waarneming van een behouden grootheid.
Denk nog eens na als je uitgedacht bent.

Reageer