We zijn nu bezig met maattheorie en er stond een extra opgave waar ik niet zeker wist hoe aan te pakken. De opgave was:
Zij (X,d) een metrische ruimte met een aftelbaar dicht deel. Toon aan dat elk open deel van X kan geschreven worden als aftelbare unie van gesloten bollen. En toon aan dat hieruit volgt dat de gesloten bollen de Borel sigma algebra op X voortbrengen.
Voor open bollen heb ik de stelling (die dan wordt: zie hieronder) wél; maar ik vroeg mij af of het nu zo 'simpel' was als intuïtief 'neem de bollen net da kleiner' (of dus een 'aftelbare unie van een aftelbare unie' nemen). Ik hoop dat het intuïtieve wat duidelijk is
.De wel bewezen stelling, is dus:
Zij (X,d) een metrische ruimte met een aftelbaar dicht deel. Toon aan dat elk open deel van X kan geschreven worden als aftelbare unie van open bollen. En toon aan dat hieruit volgt dat de open bollen de Borel sigma algebra op X voortbrengen.
Alvast bedankt!
