Exponentiële functie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 316

Exponenti

Hallo,

Ik zit de laatste tijd na te denken over iets en ik hoop dat mensen hier er wat vanaf weten. :P

Ik weet namelijk dat
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)
Dit heb ik zo uit mijn hoofd geleerd, maar verder weet ik er niets van eigenlijk. Maar waarom is dit zo? Waarom is dit toevallig alleen bij het getal e zo en waar komt dit getal precies vandaan? Ik weet hoe e gedefinieerd is, maar dat zegt verder eigenlijk niks over deze speciale eigenschap van de exponentiele functie. Op internet vind ik er eigenlijk niet heel veel specifieke informatie over.

Dus ik ben eigenlijk wel eens benieuwd naar het verhaal erachter. ;)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Exponenti

Puntje schreef:
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)


Dit heb ik zo uit mijn hoofd geleerd, maar verder weet ik er niets van eigenlijk. Maar waarom is dit zo? Waarom is dit toevallig alleen bij het getal e zo en waar komt dit getal precies vandaan? Ik weet hoe e gedefinieerd is, maar dat zegt verder eigenlijk niks over deze speciale eigenschap van de exponentiele functie. Op internet vind ik er eigenlijk niet heel veel specifieke informatie over.
Kijk eens naar de afgeleide van:
\(f_2(x)=2^x\;en\; f_3(x)=3^x\)
Teken ook de grafieken.

Berichten: 316

Re: Exponenti

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x = a^x \ln{a}\)
Met \(f_{a}(x) = a^x\) zijn dit de grafieken voor f2(x), f3(x) en fe(x):

Afbeelding

Maar wat zegt dit verder over de speciale eigenschap van het specifieke getal e? Ik weet dat fe(x) = f'e(x) maar ik ben er eigenlijk wel benieuwd naar waarom dit precies zo is.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Exponenti

Maar dat is een andere vraag?

Je 'ziet' nu iig dat er een functie mogelijk moet zijn met deze bijzondere eigenschap of ... ?

Kijk nu eens naar de raaklijn in net punt (0,1) voor beide functies. Zou er een functie bestaan waarvan de raaklijn in (0,1) dezelfde is?

Berichten: 316

Re: Exponenti

Ja dat is inderdaad wel te zien in de grafiek. ;) Dus eigenlijk ging men (volgens mij Euler) opzoek naar een oplossing voor de vergelijking \(^{a}\log{a} = 1\) of hoe zou dat in zijn werk gegaan zijn?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Exponenti

Je zou nu eens kunnen kijken naar de limietdefinitie in (0,1) voor de functie f(x)=a^x.

Berichten: 316

Re: Exponenti

Wat bedoel je hier precies mee? Alvast bedankt.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Exponenti

Wat bedoel je hier precies mee? Alvast bedankt.
Ken je de limietdefinitie voor de afgeleide van f(x) voor x=a?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Exponenti

Als je de afleiding weet om tot de de afgeleide van een exponentiele functie (
\(a^{x}\)
) te komen is het toch voldoende om
\(a^x\)
te vervangen door de exponentiele functie
\(e^{x}\)
om zo te krijgen:
\(D(a^x)=a.\ln a\)
dus
\(D(e^x)=e^x.\ln e=e^x\)


Of interpreteer ik je vraag verkeerd?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Exponenti

@Siron
Puntje schreef:
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)
Waarom is dit toevallig alleen bij het getal e zo en waar komt dit getal precies vandaan?

Berichten: 316

Re: Exponenti

Bedankt voor de reacties.

@Siron: Dat zijn inderdaad de rekenregels zoals we die kunnen toepassen. Maar ik vraag me dus af waar dat precies vandaan komt, hoe ze precies erachter zijn gekomen wat de waarde van e is en hoe ze die wiskunde ontwikkeld hebben.

@Safe: Ik ben eigenlijk niet bekend met de term limietdefinitie. Zou je deze limietdefinitie kunnen geven? Ik probeer namelijk gewoon wat info te verzamelen en een discussie te starten, dus je hoeft me niet per se te hinten in de richting van het antwoord zoals bij het huiswerkforum wel de bedoeling is. ;) Alvast bedankt.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Exponenti

\(f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\tan(\alpha)\)
Waarbij alpha de hoek is die de raaklijn in x=a aan de grafiek van f maakt met de positieve x-as. We praten dus over de rc van deze raaklijn.

Nu neem ik aan dat je dit laatste weet. Klopt dat.

Kijk nu weer naar de grafieken van: f(x)=g^x voor g=2 en 3. Het blijkt dat de rc voor g=2 kleiner dan 1 en die voor g=3 groter dan 1 is. Dit kan je meten.

We onderzoeken nu of er een g bestaat (uiteraard tussen 2 en 3) zodanig dat de rc 1 is.
\(f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g^{0+h}-g^{0}}{h}=\tan(\alpha)=1\)
Dus:
\(\frac{g^h-1}{h}=1\)
of:
\(g^h=1+h\)
of:
\(g=(1+h)^{1/h}\)
Bestaat er een getal g, waarbij h naar 0 gaat?

Ga dit allemaal zorgvuldig na en kom eventueel met vragen.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Exponenti

Maar ik vraag me dus af waar dat precies vandaan komt, hoe ze precies erachter zijn gekomen wat de waarde van e is en hoe ze die wiskunde ontwikkeld hebben.
Misschien is deze link dan ook eens de moeite om te lezen ;) . Ik weet ntuurlijk niet of het dit is wat je zoekt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 316

Re: Exponenti

Bedankt Safe en Drieske voor de info!

Het gaat dus om de limiet:
\(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e\)
En daar hebben ze dus eigenlijk het getal e vandaan als ik het zo begrijp. ;)

Ik zal de link van Drieske zeker eens doorlezen. :P

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Exponenti

Ik zou liever het zo schrijven:
\(\lim_{x \to 0+} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\)
Begrijp je het verschil?

Deze limiet is nog niet zo eenvoudig want waarom zou zo'n getal e bestaan?

Reageer