Pagina 1 van 8
Exponenti
Geplaatst: vr 25 feb 2011, 19:46
door Puntje
Hallo,
Ik zit de laatste tijd na te denken over iets en ik hoop dat mensen hier er wat vanaf weten.
Ik weet namelijk dat
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)
Dit heb ik zo uit mijn hoofd geleerd, maar verder weet ik er niets van eigenlijk. Maar
waarom is dit zo? Waarom is dit toevallig alleen bij het getal e zo en waar komt dit getal precies vandaan? Ik weet hoe e gedefinieerd is, maar dat zegt verder eigenlijk niks over deze speciale eigenschap van de exponentiele functie. Op internet vind ik er eigenlijk niet heel veel specifieke informatie over.
Dus ik ben eigenlijk wel eens benieuwd naar het verhaal erachter.
Re: Exponenti
Geplaatst: vr 25 feb 2011, 19:51
door Safe
Puntje schreef:\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)
Dit heb ik zo uit mijn hoofd geleerd, maar verder weet ik er niets van eigenlijk. Maar
waarom is dit zo? Waarom is dit toevallig alleen bij het getal e zo en waar komt dit getal precies vandaan? Ik weet hoe e gedefinieerd is, maar dat zegt verder eigenlijk niks over deze speciale eigenschap van de exponentiele functie. Op internet vind ik er eigenlijk niet heel veel specifieke informatie over.
Kijk eens naar de afgeleide van:
\(f_2(x)=2^x\;en\; f_3(x)=3^x\)
Teken ook de grafieken.
Re: Exponenti
Geplaatst: vr 25 feb 2011, 20:02
door Puntje
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x = a^x \ln{a}\)
Met
\(f_{a}(x) = a^x\) zijn dit de grafieken voor f
2(x), f
3(x) en f
e(x):
Maar wat zegt dit verder over de speciale eigenschap van het specifieke getal e? Ik weet dat f
e(x) = f'
e(x) maar ik ben er eigenlijk wel benieuwd naar waarom dit precies zo is.
Re: Exponenti
Geplaatst: vr 25 feb 2011, 20:12
door Safe
Maar dat is een andere vraag?
Je 'ziet' nu iig dat er een functie mogelijk moet zijn met deze bijzondere eigenschap of ... ?
Kijk nu eens naar de raaklijn in net punt (0,1) voor beide functies. Zou er een functie bestaan waarvan de raaklijn in (0,1) dezelfde is?
Re: Exponenti
Geplaatst: vr 25 feb 2011, 20:26
door Puntje
Ja dat is inderdaad wel te zien in de grafiek.
Dus eigenlijk ging men (volgens mij Euler) opzoek naar een oplossing voor de vergelijking
\(^{a}\log{a} = 1\) of hoe zou dat in zijn werk gegaan zijn?
Re: Exponenti
Geplaatst: vr 25 feb 2011, 20:50
door Safe
Je zou nu eens kunnen kijken naar de limietdefinitie in (0,1) voor de functie f(x)=a^x.
Re: Exponenti
Geplaatst: za 26 feb 2011, 15:39
door Puntje
Wat bedoel je hier precies mee? Alvast bedankt.
Re: Exponenti
Geplaatst: za 26 feb 2011, 16:30
door Safe
Wat bedoel je hier precies mee? Alvast bedankt.
Ken je de limietdefinitie voor de afgeleide van f(x) voor x=a?
Re: Exponenti
Geplaatst: za 26 feb 2011, 19:01
door Siron
Als je de afleiding weet om tot de de afgeleide van een exponentiele functie (
\(a^{x}\)
) te komen is het toch voldoende om
\(a^x\)
te vervangen door de exponentiele functie
\(e^{x}\)
om zo te krijgen:
\(D(a^x)=a.\ln a\)
dus
\(D(e^x)=e^x.\ln e=e^x\)
Of interpreteer ik je vraag verkeerd?
Re: Exponenti
Geplaatst: zo 27 feb 2011, 14:13
door Safe
@Siron
Puntje schreef:\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x\)
Waarom is dit toevallig alleen bij het getal e zo en waar komt dit getal precies vandaan?
Re: Exponenti
Geplaatst: ma 28 feb 2011, 01:48
door Puntje
Bedankt voor de reacties.
@Siron: Dat zijn inderdaad de rekenregels zoals we die kunnen toepassen. Maar ik vraag me dus af waar dat precies vandaan komt, hoe ze precies erachter zijn gekomen wat de waarde van e is en hoe ze die wiskunde ontwikkeld hebben.
@Safe: Ik ben eigenlijk niet bekend met de term limietdefinitie. Zou je deze limietdefinitie kunnen geven? Ik probeer namelijk gewoon wat info te verzamelen en een discussie te starten, dus je hoeft me niet per se te hinten in de richting van het antwoord zoals bij het huiswerkforum wel de bedoeling is.
Alvast bedankt.
Re: Exponenti
Geplaatst: ma 28 feb 2011, 11:44
door Safe
\(f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\tan(\alpha)\)
Waarbij alpha de hoek is die de raaklijn in x=a aan de grafiek van f maakt met de positieve x-as. We praten dus over de rc van deze raaklijn.
Nu neem ik aan dat je dit laatste weet. Klopt dat.
Kijk nu weer naar de grafieken van: f(x)=g^x voor g=2 en 3. Het blijkt dat de rc voor g=2 kleiner dan 1 en die voor g=3 groter dan 1 is. Dit kan je meten.
We onderzoeken nu of er een g bestaat (uiteraard tussen 2 en 3) zodanig dat de rc 1 is.
\(f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g^{0+h}-g^{0}}{h}=\tan(\alpha)=1\)
Dus:
\(\frac{g^h-1}{h}=1\)
of:
\(g^h=1+h\)
of:
\(g=(1+h)^{1/h}\)
Bestaat er een getal g, waarbij h naar 0 gaat?
Ga dit allemaal zorgvuldig na en kom eventueel met vragen.
Re: Exponenti
Geplaatst: ma 28 feb 2011, 11:54
door Drieske
Maar ik vraag me dus af waar dat precies vandaan komt, hoe ze precies erachter zijn gekomen wat de waarde van e is en hoe ze die wiskunde ontwikkeld hebben.
Misschien is
deze link dan ook eens de moeite om te lezen
. Ik weet ntuurlijk niet of het dit is wat je zoekt.
Re: Exponenti
Geplaatst: di 01 mar 2011, 16:17
door Puntje
Bedankt Safe en Drieske voor de info!
Het gaat dus om de limiet:
\(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e\)
En daar hebben ze dus eigenlijk het getal e vandaan als ik het zo begrijp.
Ik zal de link van Drieske zeker eens doorlezen.
Re: Exponenti
Geplaatst: di 01 mar 2011, 19:01
door Safe
Ik zou liever het zo schrijven:
\(\lim_{x \to 0+} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\)
Begrijp je het verschil?
Deze limiet is nog niet zo eenvoudig want waarom zou zo'n getal e bestaan?
