Ik was volgende 'oefening' aan het proberen, maar ben niet helemaal zeker of mijn methode klopt:
Zij
\((E_n)_n\)
een rij van meetbare deelverzamelingen van een maatruimte\((\Omega, M, \mu)\)
. Veronderstel dat \(\sum_n \mu(E_n) < \infty\)
. Toon aan dat bijna alle x in \(\Omega\)
tot ten hoogste eindig veel \(E_n\)
behoren. Voor een goed begrip van wat ik versta onder 'bijna alle' of 'bijna overal': Zij P(x) een uitspraak over de elementen
\(x \in \Omega\)
die waar of vals kan zijn, dwz \(P: \Omega \rightarrow \{waar, vals \}\)
. We zeggen dat P bijna overal tov \(\mu\)
[/b] geldt, als \(P^{-1}(\{vals\})\)
is een nulverzameling.Ik was zo begonnen... Zij E = {x | x in infty veel En}. Dan kunnen we E schrijven als
\(E = \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n\)
. Omdat we aftelbare operaties hebben gedaan, is deze verzameling meetbaar (intuitief uitgelegd, maar kan ik wel zelf juist opschrijven). Bovendien is:\(\mu(E) = \mu(\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n) = \inf_k \mu(\bigcup_{n=k}^{\infty}E_n) \leq \mu(\bigcup_{n=k}^{\infty} E_n) \leq \sum_{n = k}^{\infty} E_n\)
. Omdat er nu geldt dat \(\sum_n E_n < \infty\)
, kan ik k zo kiezen dat deze som willekeurig klein wordt. Klopt dit of moet ik dat infimum laten staan en dan het 'verhaal' afmaken met de daarna gegeven argumenten?