Safe schreef:Rectificatie:
Laat ik een getallen vb geven:
\(\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-3}{x+2}=2+\frac{1}{x+2}}\)
Zie je wat er gebeurt? Waarom werkt dit bij integratie?
Probeer dit algemeen te maken.
Door als volgt te redeneren:
Ik zie wel dat je +4 toevoegt in de teller om de integral makkelijker te maken.
Want als we nu de breuk splitsen dan kunnen we (x+2) van de eerste gedeelte zowel in de teller als in de noemer schrappen.
Wel moeten we nog het volgende bijtellen om het overeen te laten komen met de opgave:
\(\frac{-7}{x+2}\)
\(\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-7}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2} - \frac{7}{x+2}=2 - \frac{7}{x+2}\)
En dit vormt natuurlijk helemaal geen obstakel meer om er een primitieve van te vinden.
-------------------------------------------------------------------------
Om het nu te veralgemenen voor de integralen in de vorm van:
\(${\displaystyle \int\frac{ax+b}{cx+e}\,dx}\)
moet ik dus de teller proberen te schrijven in de vorm van cx+e, daarvoor moet ik
\(\frac{a}{c}\)
vooropstellen
aangezien
\(\frac{a}{c}*(cx+e)=ax+\frac{ae}{c}\)
en nu moeten we nog een term (bv. z) bijtellen zodanig dat
\(\frac{ae}{c}+z=b\)
Dus
\(${\displaystyle \int\frac{ax+b}{cx+e}\,dx}=${\displaystyle \int\frac{\frac{a}{c}*(cx+e)+z}{cx+e}\,dx} = ${\displaystyle \frac{a}{c}\int\,dx + \frac{z}{c}\int\frac{d(cx+e)}{cx+e}}\)
Wat dus gelijk moet zijn aan
\(\frac{ax}{c} + \frac{z}{c}ln|cx+e| + C\)
En dit is natuurlijk helemaal iets anders dan wat ik in het begin als uitkomst had.
-------------------------------------------------------------------------
Ik hoop dat ik het nu bij het rechte eind heb,
nogmaals bedankt om me op de juiste weg te helpen