Wetenschapsforum

Weet iemand hoe je bovenstaande limiet met de hand aanpakt?

Je kan het doen met stukjes reeksontwikkeling.

dirkwb schreef:

\( \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{ \sin( \tan(x) ) - \tan( \sin( x )) }{x^7} \)

Weet iemand hoe je bovenstaande limiet met de hand aanpakt?

Als je x = 0 invult ?

Als je x = 0 invult ?

Dan krijg je een onbepaaldheid 0/0. De juiste oplossing bestaat er dus in om de goniometrische functies te gaan benaderen door hun reeksontwikkeling, zoals TD al zei.

Waarom gaat het via een reeksontwikkeling ..is er geen andere methode dan?

dit lees ik ergens..of is dit te simpel? of gaat het via een reeks gemakkelijker?

De regel van L'Hopital stelt dat wanneer je in een limietopgave je punt invult en een van de volgende 2 onbepaaldheden krijgt: 0/0 of ¥/¥, dat je dan teller en noemer afzonderlijk mag afleiden.

Je mag in zulke gevallen L'Hôpital gebruiken als aan de randvoorwaarden voldaan is.

Maar probeer dat eens in dit geval? Aangezien 0 een zevenvoudig nulpunt is van de noemer, en de afgeleiden van sin(tan(x)) niet zo eenvoudig blijven bij herhaald afleiden (kettingregel), is het een pak eenvoudiger de reeksontwikkelingen in te vullen.

Het kan met l'Hôpital. Je zal teller en noemer zeven keer moeten afleiden. Veel plezier met de zevende afgeleide van de teller .

Nu, zelf met reeksontwikkelingen is het een beetje gepruts hoor. Het blijft een 'weinig leuke opgave' om met de hand te doen, vind ik.

Aha , want als je de teller en noemer differenteert en weer x= o invult kan dat weer 0/0 opleveren..zo blijf je wel een tijd bezig met de hand totdat er wel een getal uitkomt

Ja ik lees de post net erboven...

TD schreef:Het kan met l'Hôpital. Je zal teller en noemer zeven keer moeten afleiden. Veel plezier met de zevende afgeleide van de teller .

Nu, zelf met reeksontwikkelingen is het een beetje gepruts hoor. Het blijft een 'weinig leuke opgave' om met de hand te doen, vind ik.

maar je kunt toch niet zeggen van te voren hoeveel keren je l'hopital moet gebruiken?..of wel?

Met wat ervaring, kan je dat 'voorspellen'.

Nu, zelf met reeksontwikkelingen is het een beetje gepruts hoor. Het blijft een 'weinig leuke opgave' om met de hand te doen, vind ik.

maar je kunt toch niet zeggen van te voren hoeveel keren je l'hopital moet gebruiken?..of wel?

Ik dacht net, ik zal er eens aan beginnen om te zien of er effectief 7 nulpunten in de teller zitten, maar...
En dat is voor één term bij de eerste keer afleiden

Je kan niet met zekerheid zeggen dat het effectief 7 keer een nulpunt wordt, maar je kan wel zien dat er een mogelijkheid is om eventueel 7 keer een nulpunt te hebben in teller en noemer. De vrij symmetrische vorm van de teller kan je wel doen 'aanvoelen' dat de kans op een dubbel nulpunt (teller/noemer) reëel is, en je dus intuïtief doen kiezen om het eerder met een reeksontwikkeling aan te pakken dan met l'Hôpital...

Ok, dan met een reeksontwikkeling..hoe werkt dat dan in het algemeen?

Je kan hier naar een voorbeeld kijken.

Je kan hier naar een voorbeeld kijken.

Bedankt dat is wel handig zo

Is gemakkelijk zo met die reeksen..alleen moet je wel de reeksen paraat hebben

Bekend zijn de limieten van polynomen en als je een reeks in een polynoomvorm kunt schrijven dan volg je weer de standaard rekenregels van limieten weer..toch?

Het idee bestaat er inderdaad in dat je gaat benaderen door een Taylorreeks die een polynoomvorm heeft.

Je zegt dat je de reeksen paraat moet hebben, maar dat valt wel mee, ingeval je ze vergeten bent, kan je via de algemene formule de Taylorreeks opnieuw opstellen. Dus moet je eigenlijk slechts één formule onthouden.