Oplossen van differentiaalvergelijking

Trooper

Dit is een probleem uit Massey "An Optimal Design of theM/M/C/K Queue for Call Centers

Math Problem"

Wie kan deze monster aan?

(heb het samen met een phd student Econometrie aan de EUR geprobeerd, zonder succes...)

janamdo

Trooper schreef:Dit is een probleem uit Massey "An Optimal Design of theM/M/C/K Queue for Call Centers

Math Problem"

Wie kan deze monster aan?

(heb het samen met een phd student Econometrie aan de EUR geprobeerd, zonder succes...)

Waarin wijkt deze functie af van de standaard differentiaalvergelijkingen?

Trooper

Waarin wijkt deze functie af van de standaard differentiaalvergelijkingen?

Ik kan geen transformatie vinden die het mogelijk maakt om deze vergelijking op te lossen.

Bijvb.

Laat z=psi(y) zijn, en subsitueer de psi(y) in de functie door z (met gegeven dat ze een functie is van y).

Dan heb ik de functie z'=-1/(y*(y+z))

Nu, moet ik een transformatie vinden die z'tjes en de y'tjes tegenover elkaar kan zetten. Bijvoorbeeld v=y+z (v'=1+z' , met z'=v'-1 en dus wordt de differentiaal v'-1=-1/(y*v) ).

Als ik ze tegenover elkaar zou kunnen zetten, kan ik ze integreren en oplossen. Maar die laatste stap is niet te doen, omdat de transformatie geen goede was. Ik moet een betere transformatie toepassen die integratie wel toelaat.

Nu is dus de vraag, wat zou een geschikte transformatie kunnen zijn?

EvilBro

Misschien helpt dit (ik zie nog niet hoe, maar wie weet...)

\(y = \frac{\phi(\psi(y))}{\Phi(\psi(y))}\)

Afleiden naar y:

\(\frac{d}{dy}(y) = \frac{d}{dy}\left(\frac{\phi(\psi(y))}{\Phi(\psi(y))}\right)\)

Kettingregel:

\(1 = \frac{d}{d\psi(y)}\left(\frac{\phi(\psi(y))}{\Phi(\psi(y))}\right) \cdot \frac{d\psi(y)}{dy}\)

Productregel:

\(1 = \left(\frac{d\phi(\psi(y))}{d\psi(y)} \frac{1}{\Phi(\psi(y))} + \phi(\psi(y)) \frac{-1}{\Phi^2(\psi(y))} \frac{d \Phi(\psi(y))}{d \psi(y)}} \right) \cdot \frac{d\psi(y)}{dy}\)

Met de veronderstelling dat \(\phi\) de afgeleide is van \(\Phi\):

\(1 = \left(\frac{d\phi(\psi(y))}{d\psi(y)} \frac{1}{\Phi(\psi(y))} + \phi(\psi(y)) \frac{-1}{\Phi^2(\psi(y))} \phi(\psi(y)) \right) \cdot \frac{d\psi(y)}{dy}\)

\(1 = \left(\frac{d\phi(\psi(y))}{d\psi(y)} \frac{\phi(\psi(y))}{\Phi(\psi(y))} \frac{1}{\phi(\psi(y))} - \frac{\phi^2(\psi(y))}{\Phi^2(\psi(y))} \right) \cdot \frac{d\psi(y)}{dy}\)

\(1 = \left(\frac{d\phi(\psi(y))}{d\psi(y)} y \frac{1}{\phi(\psi(y))} - y^2 \right) \cdot \frac{d\psi(y)}{dy}\)

\(1 = \left(y (\frac{d\phi(\psi(y))}{d\psi(y)} \frac{1}{\phi(\psi(y))} - y) \right) \cdot \frac{d\psi(y)}{dy}\)

\(\frac{d\psi(y)}{dy} = \frac{1}{\left(y (\frac{d\phi(\psi(y))}{d\psi(y)} \frac{1}{\phi(\psi(y))} - y) \right)} = \frac{-1}{\left(y (y - \frac{d\phi(\psi(y))}{d\psi(y)} \frac{1}{\phi(\psi(y))}) \right)}\)

Dat lijkt wel enigzins op het antwoord, maar ik zie niet hoe ik hier verder mee moet (als dit uberhaupt al de juiste richting op is).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Oplossen van differentiaalvergelijking

Oplossen van differentiaalvergelijking

Re: Oplossen van differentiaalvergelijking

Re: Oplossen van differentiaalvergelijking

Re: Oplossen van differentiaalvergelijking