Bewijs limiet x^n / a^x
- Berichten: 341
Bewijs limiet x^n / a^x
In mijn boek bewijzen ze dat
\( \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^n}{a^x}=0\)
, voor a > 1. Hiertoe gebruiken ze dat \(\frac{x^n}{a^x}=a^{n\cdot ^a\log(x)-x}\)
. Ze stellen vervolgens \(g(x)=n\cdot ^a\log(x)-x\)
en bewijzen dat \( \lim_{x \rightarrow \infty}}g'(x)=-1\)
. Tot hier toe snap ik het nog. Maar vervolgens concluderen ze uit \( \lim_{x \rightarrow \infty}}g'(x)=-1\)
dat \(g(x) {\rightarrow} -{\infty}\)
voor \(x{\rightarrow}0\)
. Kan iemand uitleggen hoe ze aan die laatste stap komen?- Berichten: 67
Re: Bewijs limiet x^n / a^x
Ik zou ook niet weten hoe de laatste stap uit de voorlaatste voortkomt. Je kan het ook op een andere, eenvoudigere manier bewijzen, maar dat is natuurlijk geen antwoord op je vraag:
=
\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^n}{a^x}=\frac{+\infty}{+\infty}\)
Na n keer de l'Hôpital: =
\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{n!}{ln^na.a^x}=0\)
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bewijs limiet x^n / a^x
De term -x wint het van de eerste term als x onbeperkt stijgt dat wordt door g'(x) aangegeven.In mijn boek bewijzen ze dat\( \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^n}{a^x}=0\), voor a > 1. Hiertoe gebruiken ze dat\(\frac{x^n}{a^x}=a^{n\cdot ^a\log(x)-x}\). Ze stellen vervolgens\(g(x)=n\cdot ^a\log(x)-x\)en bewijzen dat\( \lim_{x \rightarrow \infty}}g'(x)=-1\). Tot hier toe snap ik het nog. Maar vervolgens concluderen ze uit\( \lim_{x \rightarrow \infty}}g'(x)=-1\)dat\(g(x) {\rightarrow} -{\infty}\)voor\(x{\rightarrow}0\). Kan iemand uitleggen hoe ze aan die laatste stap komen?
Ga na dat g(x) een maximum heeft.