Hallo allemaal,
goniometrische vergelijkingen zijn al zolang geleden bij mij ondertussen dat het spelen met de formules wat stroefjes gaat. Weten jullie waar ik fout ga?:
cos(3x)+sin(3x)-cos(x) = 0
Verschilformule van Simpson toegepast op de Cosinussen:
<=> -2sin(2x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin(x)cos(x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin²(x)cos(x) + sin(3x) = 0
Som voor derde hoek van sin(3x) (OF BETER HIER GEBRUIK MAKEN VAN sin(3x) = sin(2x+x) en dan somformule?Ik heb het voorlopig met derdehoeksformule gedaan:
<=> -2sin²(x)cos(x) + 3sin(x) - 4sin³(x) = 0
<=> sin(x)(-2sin(x)cos(x) + 3 - 4sin²(x)) = 0
Ik vermoed echter dat deze stap niet zo'n goede is (het werken met de derdehoek), omdat je dan met die "3" zit, die je eventueel verder wel na wat knutselen kan in samenwerking met die 4 naar -1 brengen en grondformule toepassen, maar dat levert weinig op - heb ik immers al proberen uit te werken.
Is het beter te werken met sin(3x) = sin(2x+x) of moet ik nog een andere aanpak kiezen om deze oefening op te lossen?
Alvast bedankt voor uw hulp
Laatste berichten
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Goniometrische vergelijking
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Goniometrische vergelijking
Gewoon doorgaan!English schreef:<=> -2sin(2x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin(x)cos(x)*sin(x) + sin(3x) = 0
<=> -2sin²(x)cos(x) + sin(3x) = 0
Som voor derde hoek van sin(3x) (OF BETER HIER GEBRUIK MAKEN VAN sin(3x) = sin(2x+x) en dan somformule?Ik heb het voorlopig met derdehoeksformule gedaan:
Dit kan beide
<=> -2sin²(x)cos(x) + 3sin(x) - 4sin³(x) = 0
<=> sin(x)(-2sin(x)cos(x) + 3 - 4sin²(x)) = 0
sin(x)(-2sin(x)cos(x) + 3 - 4sin²(x)) = 0
sin(x)=0 of -2sin(x)cos(x)+3cos²(x)-sin²(x)=0
(cos(x)-sin(x))²-2(cos²(x)-sin²(x))=0
-
- Berichten: 126
Re: Goniometrische vergelijking
Ik heb echter wel gezien dat ik helemaal vanboven al een klein foutje heb gemaakt bij het uitschrijven van sin(2x)... Daar moet vanvoor uiteindelijk -4 komen te staan en niet -2, verandert dat iets in dit geval aan de te nemen stappen om hem te factoriseren? 
dat wordt dan vanonder sin(x)[-4sinxcosx + 3cos²x - sin²x] = 0
<=> sin(x) = 0 ofwel x = k * PI met k element van Z
of
-4sinxcosx + 3cos²x - sin²x = 0
hoe ga ik te werk bij die laatste? nog wat spelen met de grondformule?
dat wordt dan vanonder sin(x)[-4sinxcosx + 3cos²x - sin²x] = 0
<=> sin(x) = 0 ofwel x = k * PI met k element van Z
of
-4sinxcosx + 3cos²x - sin²x = 0
hoe ga ik te werk bij die laatste? nog wat spelen met de grondformule?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Goniometrische vergelijking
Je hebt gelijk, daar heb ik overheen gekeken.
-
- Berichten: 67
Re: Goniometrische vergelijking
Alles naar sinussen zetten met de hoofdformule en met de formule sin(2x)=2sin(x)cos(x). Dan krijg je een tweedegraadsvgl in sin(x) en daar laat je de discriminant op los!English schreef:sin(x) = 0 ofwel x = k * PI met k element van Z
of
-4sinxcosx + 3cos²x - sin²x = 0
hoe ga ik te werk bij die laatste? nog wat spelen met de grondformule?
-
- Berichten: 126
Re: Goniometrische vergelijking
Dus als ik het goed begrijp:
-4sinxcosx + 3cos²x -sin²x = 0
-2.sin(2x) + 3(1-sin²x)-sin²x = 0
<=> -2.sin(2x) + 3 - 4sin²x = 0
En dan sin(x) = y bijvoorbeeld..
Maar hoe zit dan de substitutie weer in elkaar voor sin(2x), of wil je dat ik cosx ga schrijven als een wortel van de grondformule?
-4sinxcosx + 3cos²x -sin²x = 0
-2.sin(2x) + 3(1-sin²x)-sin²x = 0
<=> -2.sin(2x) + 3 - 4sin²x = 0
En dan sin(x) = y bijvoorbeeld..
Maar hoe zit dan de substitutie weer in elkaar voor sin(2x), of wil je dat ik cosx ga schrijven als een wortel van de grondformule?
-
- Berichten: 67
Re: Goniometrische vergelijking
Ah stom van mij...helemaal over die sin(2x) gekeken. Geen tweedegraadsvgl dus. Ik kijk nog even verder!
-
- Berichten: 582
Re: Goniometrische vergelijking
Ik zou het zo doen:
-4sinxcosx + 3cos²x - sin²x = 0
<=> -4sinxcosx + 4cos²x - 1 = 0
<=> -2 sin(2x) + 2 cos(2x) +1 = 0
<=> -sin(2x) + cos(2x) = -1/2
Kwadrateren levert:
sin²(2x) - 2 sin(2x) cos(2x) + cos²(2x) = 1/4
<=> 1 - 2 sin(2x) cos(2x) = 1/4
<=> - sin(4x) = -3/4
...
-4sinxcosx + 3cos²x - sin²x = 0
<=> -4sinxcosx + 4cos²x - 1 = 0
<=> -2 sin(2x) + 2 cos(2x) +1 = 0
<=> -sin(2x) + cos(2x) = -1/2
Kwadrateren levert:
sin²(2x) - 2 sin(2x) cos(2x) + cos²(2x) = 1/4
<=> 1 - 2 sin(2x) cos(2x) = 1/4
<=> - sin(4x) = -3/4
...
-
- Berichten: 126
Re: Goniometrische vergelijking
@Burgie: Die methode geeft een oplossing voor het afzonderen maar levert niet de juiste oplossing door dat kwadrateren... moet ik dan uiteindelijk terug opnieuw de wortel nemen om de oplossing te vinden, want door dan aan beide kanten de Bgsin te nemen en gewoon uit te werken kom ik een foute waarde uit...
-
- Berichten: 67
Re: Goniometrische vergelijking
Als je weet dat sin(4x) = 3/4, dan weet je toch dat x gelijk is aan Bgsin(3/4)/4?
En als in een vergelijking beide leden gelijk zijn, moet hun kwadraat toch ook gelijk zijn? Dan mag je dus altijd beide leden kwadrateren. Soms moet je wel voorwaarden stellen, maar dat was hier niet het geval. Bijvoorbeeld:
Kwadrateren geeft 3x+5 = x²-6x+9, maar er zijn een aantal voorwaarden:
* 3x+5 moet positief zijn opdat de wortel bestaat
* x²-6x+9 moet positief zijn, want het is gekwadrateerd
En verder is het oplossen van een kwadratische vgl. Dat terzijde
En als in een vergelijking beide leden gelijk zijn, moet hun kwadraat toch ook gelijk zijn? Dan mag je dus altijd beide leden kwadrateren. Soms moet je wel voorwaarden stellen, maar dat was hier niet het geval. Bijvoorbeeld:
\(\sqrt{3x+5} = x-3\)
Kwadrateren geeft 3x+5 = x²-6x+9, maar er zijn een aantal voorwaarden:
* 3x+5 moet positief zijn opdat de wortel bestaat
* x²-6x+9 moet positief zijn, want het is gekwadrateerd
En verder is het oplossen van een kwadratische vgl. Dat terzijde
-
- Berichten: 126
Re: Goniometrische vergelijking
Inderdaad, dat dacht ik dus.. maar die oplossing stelt dan dat x = 0.21 enz... als je dat invult in de originele vergelijking, krijg je helemaal niet dat dat een nuloplossing is. Of ben ik nu echt verstrooid aan het doen? :')
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Goniometrische vergelijking
Ik heb weer even tijd ...-sin(2x) + cos(2x) = -1/2
Bovenstaande verg is van de vorm acos(x)+bsin(x)=c
Hier krijgen we:
\(\cos(\pi/4+2x)=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Bij de opl van Burgie moet je echt de opl die voldoen aan (*) er uit zeven.-
- Berichten: 582
Re: Goniometrische vergelijking
Zoals Safe zegt zal je bij mijn oplossingsmethode eigenlijk meer oplossingen bekomen dan voor de oorspronkelijke vergelijking (die 0.21 is immers niet de enige oplossing). Je zal dus nog moeten toetsen welke van de oplossingen ook effectief een oplossing is voor de oorspronkelijke vergelijking.Inderdaad, dat dacht ik dus.. maar die oplossing stelt dan dat x = 0.21 enz... als je dat invult in de originele vergelijking, krijg je helemaal niet dat dat een nuloplossing is. Of ben ik nu echt verstrooid aan het doen? :')
Verder is de methode van Safe iets eleganter, ik had er persoonlijk niet aan gedacht om op zo'n manier te werk te gaan
-
- Berichten: 102
Re: Goniometrische vergelijking
Je kunt de vraag ook benaderen door proeven te doen met var. hoeken per antwoord.
Ik begon met x=15 gr. en voerde dit op en kom bij x= 33 graden dicht bij het antwoord
dus cos 99+sin 99-cos 33=ongeveer 0
De vergelijking van Burgie sin4x=0.75 levert een x op van 12.1476 gr en in de oorspr. vergelijking dus ook geen nulwaarde voor die vergelijking,maar ongeveer 0.4.
Ik begon met x=15 gr. en voerde dit op en kom bij x= 33 graden dicht bij het antwoord
dus cos 99+sin 99-cos 33=ongeveer 0
De vergelijking van Burgie sin4x=0.75 levert een x op van 12.1476 gr en in de oorspr. vergelijking dus ook geen nulwaarde voor die vergelijking,maar ongeveer 0.4.
-
- Berichten: 582
Re: Goniometrische vergelijking
Dit is geen analytische oplossing, waarmee je bovendien makkelijk meerdere oplossingen kan vergeten.Je kunt de vraag ook benaderen door proeven te doen met var. hoeken per antwoord.
Mijn vergelijking levert de oplossingen 4x = arcsin(3/4) + 2*k*pi en 4x = pi - arcsin(3/4) + 2*k*pi, of: x = 1/4*arcsin(3/4) + k*pi/2 en x = pi/4 - 1/4*arcsin(3/4) + k*pi/2, met k een geheel getal. Met andere woorden, een ganse reeks oplossingen die je dient te verifiëren met de oorspronkelijke vergelijking.De vergelijking van Burgie sin4x=0.75 levert een x op van 12.1476 gr en in de oorspr. vergelijking dus ook geen nulwaarde voor die vergelijking,maar ongeveer 0.4.
