Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 393

Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Goeiemorgen allen,

Ik zit met een kaartspel van 52 kaarten (normaal kaartspel dus). Ik trek twee kaarten, zonder teruglegging. Wat is de kans dat de tweede kaart een heer was, op voorwaarde dat de eerste een rode kaart was?

Dus verschijnsel A = rode kaart, verschijnsel B = een heer:

P(B/A) = de kans dat B zich voordoet op voorwaarde dat A zich heeft voorgedaan

= P(B doorsnede A) / P(A)

= (2/52) / (1/2)

= 1 / 13



Nu is de vraag: klopt deze redenering?

Berichten: 393

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Hallo alweer! Ik heb even verder gedacht en moet concluderen dat mijn bovenstaande redenering wellicht niet klopt.

Dus A= eerste kaart is een rode kaart

B = tweede kaart is een heer

Zonder terugglegging!

Gevraagd: P (B/A)

P(B/A) = P (B / gebeurtenis A is rood maar geen heer) + P(B / gebeurtenis A is rood maar wel een heer)

= P (B doorsnede gebeurtenis A is rood maar geen heer) / P (gebeurtenis A is rood maar geen heer) + P (B doorsnede gebeurtenis A is rood maar wel een heer) / P (gebeurtenis A is rood maar wel een heer)

= (24/52 . 4 /51) / (24 / 52) + (2/52 . 3/51) / (2/52)

= 7/ 51

hoewel ik nog altijd niet overtuigd ben dat dit juist is?

Berichten: 7.068

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

P(B/A) = P (B / gebeurtenis A is rood maar geen heer) + P(B / gebeurtenis A is rood maar wel een heer)
Dit klopt niet.

Stel dat:

C = eerste kaart is rood en geen heer

D = eerste kaart is een rode heer.

Dan geldt dus:

A = C + D
\(P(B|A) = \frac{P(B \mbox{ en } A)}{P(A)} = \frac{P(B \mbox{ en } (C+D))}{P(A)} = \frac{P(B \mbox{ en } C)}{P(A)} + \frac{P(B \mbox{ en } D)}{P(A)}\)
\(= \frac{P( C)}{P(A)} \cdot \frac{P(B \mbox{ en } C)}{P( C)} + \frac{P(D)}{P(A)} \cdot \frac{P(B \mbox{ en } D)}{P(D)} = \frac{P( C)}{P(A)} \cdot P(B | C) + \frac{P(D)}{P(A)} \cdot P(B|D)\)
en
\(\frac{P( C)}{P(A)} \cdot P(B | C) + \frac{P(D)}{P(A)} \cdot P(B|D) \neq P(B | C) + P(B|D)\)

Berichten: 393

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Dank je wel. Ik versta je uitwerking en kan je redenering volgen, maar mijn eerste methode:

P(B/A) = P (B / gebeurtenis A is rood maar geen heer) + P(B / gebeurtenis A is rood maar wel een heer)

Ik versta nog steeds niet waarom fundamenteel gezien deze redenering niet klopt? Is dit omdat gebeurtenis C en gebeurtenis D verhoudingsgewijs ten opzichte van A verschillen?

Berichten: 393

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Hallo allemaal,

ik zal toch nog even terug moeten komen op deze oefening. De uitkomst is 1/13 als ik goed gerekend heb met de methode van EvilBro, die ik nu wel versta.

Maar dit is dus dezelfde uitkomst als men zou veronderstellen dat men de kaarten wel teruglegt? Klopt dit wel?

Berichten: 582

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

De uitkomst is 1/13 als ik goed gerekend heb met de methode van EvilBro, die ik nu wel versta.
Uitkomst klopt... Ook makkelijk na te rekenen via
Maar dit is dus dezelfde uitkomst als men zou veronderstellen dat men de kaarten wel teruglegt?
Toeval.

Berichten: 156

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Trouwens, het doet feit of die eerste kaart nu rood was of niet doet er helemaal niet toe.

Wat wel van belang is, is de kans dat dit een heer was maar dit is gelijk voor rode en zwarte kaarten.

Dus P = [4/52 * 3/51] + [48/52 * 4/51] = 1/13

Berichten: 7.068

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Toeval.
Dat denk ik niet. Zoals venra al aangaf is de kleur van de eerste kaart irrelevant voor of de tweede kaart een heer is. Je kan dus de eerste kaart ook niet bekijken. Je kan hem dus net zo goed opzij leggen, of onderop het kaartspel. Als je hem onderop legt, is het net een nieuw kaartspel. De vraag is dus equivalent met wat de kans is dat de bovenste kaart van een kaartspel een heer is.

Gebruikersavatar
Berichten: 4

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

je kan op google zoeken naar een generator die de willekeurigheid benaderd, bijvoorbeeld de braklav constante. dit helpt bij vraagstukken een idee te krijgen van kans berekening en een beter inzicht te krijgen in de bovenstaande wiskundige formules

Berichten: 582

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Dat denk ik niet. Zoals venra al aangaf is de kleur van de eerste kaart irrelevant voor of de tweede kaart een heer is. Je kan dus de eerste kaart ook niet bekijken. Je kan hem dus net zo goed opzij leggen, of onderop het kaartspel. Als je hem onderop legt, is het net een nieuw kaartspel. De vraag is dus equivalent met wat de kans is dat de bovenste kaart van een kaartspel een heer is.
Ik begrijp je verklaring eigenlijk niet. Hoe ik redeneer: het feit dat je een eerste kaart trekt die een (in dit geval rode) heer kan zijn en het feit dat je deze niet terug legt maakt dat de eerste kaart een invloed heeft op de kans dat de tweede kaart al dan niet een heer is. Beide gebeurtenissen zijn dus niet onafhankelijk van elkaar, wat wel het geval is bij teruglegging van de eerste kaart. Het geval met teruglegging beschouw ik dus wel als een geheel andere situatie.

Berichten: 156

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Zo ver had ik eigenlijk nog niet gedacht EvilBro, maar je hebt wel gelijk. Doordat de eerste voorwaarde volledig irrelevant is, kun je de vraag eigenlijk herformuleren als:

"Wat is de kans dat de tweede kaart in een kaartspel een heer is"

En laat dat nu simpelweg 4/52 zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

venra schreef:Zo ver had ik eigenlijk nog niet gedacht EvilBro, maar je hebt wel gelijk. Doordat de eerste voorwaarde volledig irrelevant is, kun je de vraag eigenlijk herformuleren als:

"Wat is de kans dat de tweede kaart in een kaartspel een heer is"

En laat dat nu simpelweg 4/52 zijn.
Ik zie eerlijk gezegd de irrelevantie van de eerste kaart ook niet hoor (net zoals Burgie)... De eerste kaart kàn een heer zijn. En dat heeft in mijn ogen invloed op de tweede kaart... Ik bedoel niet dat EvilBro niet gelijk heeft (duidelijk wel, want "toeval" bestaat niet ;) ). Ik zie het alleen niet...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 156

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

De eerste kaart kán inderdaad een heer zijn.

Maar zegt het feit dat de eerste kaart rood is, iets over de kans dat dit een heer is?

Neen, maw weet je niets meer dan dat je de eerste kaart de kleur van de eerste kaart niet had bekeken.

Dus kun je de vraag herleiden tot enkel het tweede deel.

Snap je?

Berichten: 7.068

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

het feit dat je een eerste kaart trekt die een (in dit geval rode) heer kan zijn en het feit dat je deze niet terug legt maakt dat de eerste kaart een invloed heeft op de kans dat de tweede kaart al dan niet een heer is.
Ik geef jou de bovenste kaart van een kaartspel met blauwe achterkant en mijzelf de tweede kaart.

Ik pak de eerste kaart van een kaartspel met groene achterkant en jou de tweede.

Zijn deze blauwe en groene situatie op dit moment volgens jou equivalent? Als ze volgens jou niet equivalent, kun je dan uitleggen hoe jij het verschil kunt zien tussen de twee situaties en hoe delen bij kaartspelletjes dan ooit eerlijk kan zijn? Let op! Je mag hierbij dus niet kijken naar welke kaart je hebt!

Nu kijk jij in beide gevallen naar de kleur van de blauwe kaart en groene kaart ('kleur' in de zin van rood of zwart). De kleur van de kaarten geeft je enkel informatie over de kleur van de kaarten, niet over de waarde. Het heeft dus geen enkele invloed op welke waardes we zouden kunnen hebben. In het blauwe geval vertel je me welke kleur jij hebt. Dit vertelt me dus niks over de waarde van de kaart die op mijn blauwe kaart staat. Kortom de beide situaties zijn ondanks je mededeling nog steeds equivalent.

In de groene situatie roep jij nu voordat er kaarten worden verdeeld 'rood' of 'zwart' (50-50 kans). Dit heeft geen invloed op de kaart die ik krijg. De situaties zijn dus nog steeds equivalent. In de groene situatie geef ik jou geen kaart. Dit heeft geen invloed op de kaart dit ik krijg. Nog steeds equivalent dus.

Nu hebben we dat de volgende twee situaties equivalent zijn:

Ik geef jou de bovenste kaart van een kaartspel met blauwe achterkant, jij zegt 'rood' of 'zwart' en ik geef mijzelf de tweede kaart.

Jij zegt 'rood' of 'zwart', ik pak de eerste kaart van een kaartspel met groene achterkant.

De kans dat ik een heer heb is in beide situaties dus ook hetzelfde.

Deze situatie moet je niet verwarren met de situatie waarbij je in moet schatten met welke kaart ik heb gegeven de waarde van de kaart die jij hebt. De waarde op jouw kaart geeft je namelijk wel informatie.

Berichten: 582

Re: Kansrekenen; 2 kaarten trekken zonder teruglegging

Het gaat mij niet om de kleur van de eerste kaart, het gaat mij om het feit dat het een heer kan zijn.

Iets onorthodox: beschouw een kaartspel met 52 kaarten waarvan 6 heren, 4 rode en 2 zwarte. Reken nu beide kansen uit. Nog steeds gelijk?

Reageer