Linearisatie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 200

Linearisatie

Hoi, ik moet onderstaand probleem oplossen maar ik kom er nog niet helemaal uit. De vraag is

Aannemende dat
\(\bar{a}<<1\)
, lineariseer onderstaande vergelijking en vind een explicite oplossing voor
\(\delta h\)
\(\frac{1}{(1+\bar{h}-\bar{a})^2}+\frac{2}{Fr}\bar{h}=1\)
met
\(\bar{h}=\frac{\delta h}{h}\)
\(\bar{a}=\frac{a}{h}\)
\(Fr=\frac{U^2_0}{gh}\)
=====================================================

Ik begon met een taylor expansie voor de eerste term:
\(\frac{1}{(1+\bar{h}-\bar{a})^2} = \frac{1}{(1+\bar{h})^2}+\frac{2}{(1+\bar{h})^3}\bar{a}\)
Dan substitueer ik dit vervolgens weer terug in de vergelijking, zodat we hebben
\(\frac{1}{(1+\bar{h})^2}+\frac{2}{(1+\bar{h})^3}\bar{a}}+\frac{2}{Fr}\bar{h}=1\)
Na een heleboel algebra is dit te schrijven als
\(\bar{h^4}+(3-\frac{Fr}{2})\bar{h^3}+(3-\frac{3}{2}Fr)\bar{h^2}+(1-Fr)\bar{h}+Fr\bar{a}=0\)
Hoe los ik deze 4e graads vergelijking nu op? Ik weet dat er allerlei ingewikkelde formules voor zijn om een dergelijke vergelijking op te lossen, maar ik kan me niet voorstellen dat dat de bedoeling van de opgave is. Deze vraag komt uit een natuurkundig probleem, dus ik vermoed misschien dat ook geldt
\(\bar{h}<<1\)
. Dan zou je hogere in
\(\bar{h}\)
kunnen verwaarlozen en hem vervolgens oplossen.

Ben ik op de goede weg (is de vergelijking gelineariseerd?) en hoe ga ik verder?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: Linearisatie

Iemand die hier een handje kan toesteken?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Linearisatie

Je kan in je laatste vergelijking inderdaad alle hogere machten van
\(\bar{h}\)
weglaten.

Logischer en makkelijker is misschien om in de eerste stap je taylorreeks niet op te stellen naar a, maar naar
\(\bar{h}-a\)
.

dit levert hetzelfde resultaat, maar met iets minder rekenwerk.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Berichten: 200

Re: Linearisatie

Dus dan zeg je in principe
\(\bar{h}-\bar{a}<<1\)
toch?

Hoe weet je eigenlijk dat je hogeren machten kunt weglaten? Dit is toch puur omdat je aanneemt dat ook
\(\bar{h}\)
klein is?

Bedankt!

Reageer