Cartesische vergelijking vlak

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 13

Cartesische vergelijking vlak

Geachte

Ik zit met een probleem. Ik zoek het verband tussen de normaal en de vergelijking van het vlak. Ik weet de vergelijking van de normaal en van het vlak wel maar om vanuit een gegeven normaalvergelijking naar een vergelijking van het vlak te gaan? Het blijft me een raadsel. Ik zat wel te denken aan de richingsvectoren (van de normaal) die loodrecht op het vlak staan en die dan te gaan invullen in de cartesische vergelijking van het vlak. Maar dat is denk ik geen goede redenering.

Wie mij op weg kan helpen of mij iets kan bijleren alvast bedankt

Groeten

Gebruikersavatar
Berichten: 67

Re: Cartesische vergelijking vlak

Als ux + vy + wz + t = 0 de vergelijking is van een vlak, dan is (u,v,w) de normaalvector van dat vlak. Dat is tamelijk makkelijk in te zien:

Verschuif je dat vlak zodat het de oorsprong bevat, dan heeft het als vergelijking ux + vy + wz = 0. Dit ken je ook als het scalair producht van twee vectoren. Je weet dat dit 0 is als twee vectoren loodrecht op elkaar staan. Nu weet je dat alle puntvectoren van dat vlak door de oorsprong ook puntvectoren zijn van het eerste vlak. Je kan dus besluiten dat de vector (u,v,w) loodrecht staat op alle richtingen van dat vlak.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cartesische vergelijking vlak

Je vraag is me niet duidelijk.

Gegeven een normaalvector van een vlak bv (3,2,1) en een punt van het vlak bv (1,2,3), kan je dan de verg van het vlak bepalen?

Berichten: 13

Re: Cartesische vergelijking vlak

Safe schreef:Je vraag is me niet duidelijk.

Gegeven een normaalvector van een vlak bv (3,2,1) en een punt van het vlak bv (1,2,3), kan je dan de verg van het vlak bepalen?
Een gegeven normaal n↔∝x+βy+γ=0 waaruit men nu de vergelijking van het vlak moet uit kunnen afleiden.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cartesische vergelijking vlak

Een gegeven normaal n↔∝x+βy+γ=0 waaruit men nu de vergelijking van het vlak moet uit kunnen afleiden.
Dit antwoord zegt me niets, maar wel is duidelijk dat je de verg van het vlak niet kan bepalen.

Stel je hebt een vlak met verg 3x+2y+z=10, wat is dan een normaalvector (voortaan nv) van dit vlak?

Berichten: 13

Re: Cartesische vergelijking vlak

Safe schreef:Dit antwoord zegt me niets, maar wel is duidelijk dat je de verg van het vlak niet kan bepalen.

Stel je hebt een vlak met verg 3x+2y+z=10, wat is dan een normaalvector (voortaan nv) van dit vlak?
(3,2,1) maar mijn vraag is vertrekkend vanuit NORMAALVERGELIJKING

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Cartesische vergelijking vlak

Wat bedoel je precies met de normaal van het vlak? Kun je uit de parametervoorstelling van een vlak overigens wel de Carthesische vergelijking van dat vlak afleiden?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 13

Re: Cartesische vergelijking vlak

Wat bedoel je precies met de normaal van het vlak? Kun je uit de parametervoorstelling van een vlak overigens wel de Carthesische vergelijking van dat vlak afleiden?
Van parametervoorstelling naar cartesische vergelijking is gewoon de parameter elimineren. Voor alle duidelijkheid is mijn vraag om van een gegeven normaalvergelijking naar een cartesische vergelijking van het vlak te gaan.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cartesische vergelijking vlak

Ik zoek het verband tussen de normaal en de vergelijking van het vlak. Ik weet de vergelijking van de normaal en van het vlak wel maar om vanuit een gegeven normaalvergelijking naar een vergelijking van het vlak te gaan?
Ik weet de vergelijking van de normaal en van het vlak wel
Wat bedoel je hier?
Stel je hebt een vlak met verg 3x+2y+z=10, wat is dan een normaalvector (voortaan nv) van dit vlak?
(3,2,1) maar mijn vraag is vertrekkend vanuit NORMAALVERGELIJKING
Als (3,2,1) het antwoord is op de vraag daarboven, dan is dat goed.
Voor alle duidelijkheid is mijn vraag om van een gegeven normaalvergelijking naar een cartesische vergelijking van het vlak te gaan.
Je gebruikt de volgende benamingen, graag een vb van elk:

-vergelijking van een vlak

-normaalvergelijking van een vlak

-cartesische vergelijking van een vlak

Berichten: 13

Re: Cartesische vergelijking vlak

Safe schreef:Wat bedoel je hier?

Als (3,2,1) het antwoord is op de vraag daarboven, dan is dat goed.

Je gebruikt de volgende benamingen, graag een vb van elk:

-vergelijking van een vlak

-normaalvergelijking van een vlak

-cartesische vergelijking van een vlak
Voor het vlak kan met 3 vergelijkingen opstellen: de vectoriële, de parameter en de cartesische vergelijking.

Normaalvergelijking: n↔(ax+by+cz+d)/(√(a^2+b^2+c^2))=0

Cartesische vergelijking ∝↔ax+by+cz=d

De vraag of bewijs dat is dat men vanuit de algemene normaal vergelijking zie hierboven de cartesische vergelijking kan afleiden van het vlak.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cartesische vergelijking vlak

De normaalverg is niet anders dan een verg van het vlak waarbij de nv lengte 1 heeft. Vandaar dat je bij een verg van een vlak niet spreekt over de nv maar over een nv.

Overigens vanuit:
Cartesische vergelijking ∝↔ax+by+cz=d

Normaalvergelijking: n↔(ax+by+cz-d)/(√(a^2+b^2+c^2))=0
Let op: -d ipv +d.

Opm: cartesische verg ... is kortweg verg ... .

Berichten: 13

Re: Cartesische vergelijking vlak

Safe schreef:De normaalverg is niet anders dan een verg van het vlak waarbij de nv lengte 1 heeft. Vandaar dat je bij een verg van een vlak niet spreekt over de nv maar over een nv.

Overigens vanuit:

Let op: -d ipv +d.

Opm: cartesische verg ... is kortweg verg ... .
De oplossing is dus meer een stelling aantonen dat de richtingvector (a,b,c) de richtingsgetallen zijn van de vergelijking van het vlak? Klopt dit wat ik zeg?

Die een normaalvergelijking (met nadruk op een) snap ik niet goed is dit wanneer d gaat veranderen en dus evenwijdig gaat verschuiven met het oorspronkelijk vlak of is het dat die vergelijking uniek is of niet.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cartesische vergelijking vlak

De normaalverg is zelfs niet uniek. Weet je ook waarom?

Maar nu begrijp ik nog steeds je probleem niet.

Wat je moet weten: omzetten van par voorst naar verg van een vlak en omgekeerd.

Verder moet je van een verg kunnen overgaan op de normaalverg.

Bv: 3x+2y+z=10 naar de normaalverg ... .Omgekeerd heeft geen enkele zin.

Berichten: 13

Re: Cartesische vergelijking vlak

Safe schreef:De normaalverg is zelfs niet uniek. Weet je ook waarom?

Maar nu begrijp ik nog steeds je probleem niet.

Wat je moet weten: omzetten van par voorst naar verg van een vlak en omgekeerd.

Verder moet je van een verg kunnen overgaan op de normaalverg.

Bv: 3x+2y+z=10 naar de normaalverg ... .Omgekeerd heeft geen enkele zin.
Er wordt vanmij gevraagd om van n↔(ax+by+cz+d)/(√(a^2+b^2+c^2))=0 een bewijs of stelling tegeven die de vergelijking van het vlak beschrijft. kort nog dit even wat is het verschil tussen een en de nv

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Cartesische vergelijking vlak

nog dit even wat is het verschil tussen een en de nv
Stel je hebt een nv (3,2,1) dan is k(3,2,1) toch ook een nv voor alle k ongelijk 0.
Er wordt vanmij gevraagd om van n↔(ax+by+cz+d)/(√(a^2+b^2+c^2))=0 een bewijs of stelling tegeven die de vergelijking van het vlak beschrijft. kort
Er staat een breuk links, wanneer is een breuk 0?

Reageer