De methode die 'In fysics I trust' aangaf, die van sec(x)*dx is correct.
Als je het wil oplossen door het te splitsen in partieelbreuken, is je antwoord ook geldig.
Ik ben alleen maat niet zeker of je daar een rekenfoutje gemaakt hebt of niet, ik kom namelijk
\( 0.5* ln\frac{|1+sin(x)|}{|1-sin(x)|} = -0.5* ln\frac{|1-sin(x)|}{|1+sin(x)|}\)
uit, maar aangezien het in absolute waarde staat, maakt het geen verschil voor de uitkomst.
Wil je toch de antwoord van het boek, die volgens mij ook correct is, zo goed mogelijk benaderen, dan zou je inderdaad best de t-formules gebruiken.
Als je weet dat
\(cos(x) = \frac{cos²(\frac{x}{2})-sin²(\frac{x}{2})}{cos²(\frac{x}{2})+sin²(\frac{x}{2})} * \frac{sec²(\frac{x}{2})}{sec²(\frac{x}{2})}} = \frac{1-tan²(\frac{x}{2})}{1+tan²(\frac{x}{2})}\)
Stel nu
\(tan(\frac{x}{2}) = t\)
.
1) Bereken hieruit x in functie van t
2) En leid het af zodanig dat je dx bekomt.
3) Vervang nu cos(x) en dx in je integraal en splits het in partieelbreuken.
Je zal dan weer een 'andere uitkomst' verkrijgen.
Daarbij moet je nog weten dat
\(tan(A+B) = \frac{tan(A)+tan(B)}{1 - tan(A)*tan(B)}\)
Bewijs hiervan ?
\(tan(A+B) = \frac{sin(A+B)}{cos(A+B)} * \frac{\frac{1}{cos(A)cos(B)}}{\frac{1}{cos(A)cos(B)}}\)
Als je dit uitwerkt met behulp van de regel van Simpson, dan bekom je de nodige formule die ik er net boven vermeld heb.
Kies nu A = pi/4 en B = x/2 (zoals in je antwoordenboek staat) en vul dit in in onze formule.
Je zult merken dat dit onze nieuwe antwoord tegemoet komt !
Hopelijk kom je hiermee wel uit, en anders horen we het wel.
Success !