Inhoud via sectie

appelsapje

De inhoud van een piramide met als grondvlak een zeshoek met zijde 1 en als hoogte ook 1.

via de inhoudsformule met behulp van integralen.

Nu, ik zie niet goed hoe ik op weg moet met die zeshoek als grondvlak, iemand een ideetje?

point

Hopelijk kun je ermee uit door de volgende vragen te beantwoorden:

1.) Hoe bereken je de oppervlakte van een zeshoek ? Of heb je mischien een formule die je mag gebruiken ?

Indien niet, kun je de zeshoek in vierkanten of driehoeken verdelen waar je de afzonderlijke oppervlaktes van kunt bepalen ?

2.) Wat denk je dat eenvoudiger is voor deze opgave, een horizontale of een verticale snede van de piramide en waarom ?

3.) Als we weten dat de grondvlak een zeshoek is, hoe ziet onze snede met de piramide er dan uit ?

4.) Begrijp je wat de inhoudsformule van integralen doet ? ( Wat is de achterliggende idee van het bekomen van de inhoud ? )

Als je een vraag niet goed begrijpt, ermee hulp nodig hebt of nog meer hints wil, dan zeg je het maar.

appelsapje

point schreef:Hopelijk kun je ermee uit door de volgende vragen te beantwoorden:

1.) Hoe bereken je de oppervlakte van een zeshoek ? Of heb je mischien een formule die je mag gebruiken ?

Indien niet, kun je de zeshoek in vierkanten of driehoeken verdelen waar je de afzonderlijke oppervlaktes van kunt bepalen ?

2.) Wat denk je dat eenvoudiger is voor deze opgave, een horizontale of een verticale snede van de piramide en waarom ?

3.) Als we weten dat de grondvlak een zeshoek is, hoe ziet onze snede met de piramide er dan uit ?

4.) Begrijp je wat de inhoudsformule van integralen doet ? ( Wat is de achterliggende idee van het bekomen van de inhoud ? )

Als je een vraag niet goed begrijpt, ermee hulp nodig hebt of nog meer hints wil, dan zeg je het maar.

1.) Hier zit ik dus eigenlijk al mee vast, misschien het grondvlak opdelen in 2 trapezia?

2.) Door 1.) weet ik dit dus ook niet

, ik denk wel horizontaal zodat je kan integreren van 0 tot hoogte h, 1 in dit geval.

3.) Een Zeshoek ook

4.) Het idee is dat we de inhoud bekomen door een opdeling in infinitesimale cilindertjes met oppervlakte

\(\piyr^2h\)

waarbij r^2 onze functiewaarde in het kwadraat wordt en de hoogte wordt infinitesimaal, dx.

Maar, ik zie het dus nog niet echt...

point

appelsapje schreef:1.) Hier zit ik dus eigenlijk al mee vast, misschien het grondvlak opdelen in 2 trapezia?

4.) Het idee is dat we de inhoud bekomen door een opdeling in infinitesimale cilindertjes met oppervlakte
\(\piyr^2h\)
waarbij r^2 onze functiewaarde in het kwadraat wordt en de hoogte wordt infinitesimaal, dx.

Een zeshoek kun je inderdaad in 2 gelijke trapezia verdelen.

Verder heb ik zelf ingezien dat je die trapezia telkens in 3 gelijkzijdige driehoeken kunt verdelen waarmee je mbv (...) de oppervlakte ervan berekent.

Op het bewijs dat die 6 driehoeken gelijkzijdig zijn kan ik even niet opkomen, maar dat is toch hoe ik op die formule van de oppervlakte van de zeshoek kwam die ik eerst via Wikipedia opzocht.

Wat je zegt over cilindertjes klopt inderdaad, nemen we de hoogte infinitesimaal dan kunnen we volgens me gewoon verder gaan met het optellen van (...) van de zeshoek sneden van 0 tot 1. Nu nog de piramide zodanig comfortabel op een van de assen plaatsen, dat we de variabele (...) van de zeshoek of zelfs van de driehoek kunnen afleiden om ons integraal op te stellen.

In deze oefening vervang je dus in feite de oppervlakte van de cilinder door die van de zeshoek

appelsapje

point schreef:Een zeshoek kun je inderdaad in 2 gelijke trapezia verdelen.

Verder heb ik zelf ingezien dat je die trapezia telkens in 3 gelijkzijdige driehoeken kunt verdelen waarmee je mbv (...) de oppervlakte ervan berekent.

Op het bewijs dat die 6 driehoeken gelijkzijdig zijn kan ik even niet opkomen, maar dat is toch hoe ik op die formule van de oppervlakte van de zeshoek kwam die ik eerst via Wikipedia opzocht.

Wat je zegt over cilindertjes klopt inderdaad, nemen we de hoogte infinitesimaal dan kunnen we volgens me gewoon verder gaan met het optellen van (...) van de zeshoek sneden van 0 tot 1. Nu nog de piramide zodanig comfortabel op een van de assen plaatsen, dat we de variabele (...) van de zeshoek of zelfs van de driehoek kunnen afleiden om ons integraal op te stellen.

In deze oefening vervang je dus in feite de oppervlakte van de cilinder door die van de zeshoek

Mhm, dus het trapezium heeft als grote basis 2 en kleine 1, de hoogte ervan wordt dan onze x?

point

Mhm, dus het trapezium heeft als grote basis 2 en kleine 1, de hoogte ervan wordt dan onze x?

Stel je plaatst je piramide op de y-as met het midden van de zeshoek in de oorsprong.

Waaraan is de x dan gelijk ?

Het hangt er zo een beetje af hoe dat je je zeshoek ziet.

Ik heb die voor het gemak zo gedraaid dat er aan de boven- en onderkant horizontale zijden staan.

Dan geeft de x-waarde een makkelijkere interpretatie.

appelsapje

point schreef:Stel je plaatst je piramide op de y-as met het midden van de zeshoek in de oorsprong.

Waarvan is de x dan gelijk ?

En hoe gaat het dan als je de piramide horizontaal legt op de x as? ik zie het nog altijd niet goed.

appelsapje

point schreef:Stel je plaatst je piramide op de y-as met het midden van de zeshoek in de oorsprong.

Waaraan is de x dan gelijk ?

Het hangt er zo een beetje af hoe dat je je zeshoek ziet.

Ik heb die voor het gemak zo gedraaid dat er aan de boven- en onderkant horizontale zijden staan.

Dan geeft de x-waarde een makkelijkere interpretatie.

Dan is x de halve lengte van de lange basis?

point

Dan is x de halve lengte van de lange basis?

Excuses voor de verwarring, ik was het even zelf kwijt.

Ik heb eigenlijk heel de tijd met gelijkzijdige driehoeken gewerkt, hier kun je zien waarom dat het zo handig is

De halve lengte van de grote basis is het dus inderdaad, wat hier overeenkomt met z !

: piramide.png (22.13 KiB) 942 keer bekeken

appelsapje

point schreef:Excuses voor de verwarring, ik was het even zelf kwijt.

Ik heb eigenlijk heel de tijd met gelijkzijdige driehoeken gewerkt, hier kun je zien waarom dat het zo handig is

De halve lengte van de grote basis is het dus inderdaad, wat hier overeenkomt met z !

[attachment=7963:piramide.png]

En wat wordt dan de functie voor in de integraal?

\(\dfrac{\dfrac{1}{2}+x}{2}\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

?

point

appelsapje schreef:En wat wordt dan de functie voor in de integraal?

\(\dfrac{\dfrac{1}{2}+x}{2}\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
?

Hoe kom je hier precies aan ?

Het is de bedoeling om de oppervlaktes van de zeshoek sneden te bepalen van 0 tot 1.

De oppervlakte van de zeshoek kun je voor een willekeurige zijde z=x opstellen door gebruik te maken van die gelijkzijdige driehoeken.

Merk trouwens op dat de oppervlakte in cm² staat, en je hebt maar een eerstegraadsfunctie.

appelsapje

point schreef:Hoe kom je hier precies aan ?

Het is de bedoeling om de oppervlaktes van de zeshoek sneden te bepalen van 0 tot 1.

De oppervlakte van de zeshoek kun je voor een willekeurige zijde z=x opstellen door gebruik te maken van die gelijkzijdige driehoeken.

Merk trouwens op dat de oppervlakte in cm² staat, en je hebt maar een eerstegraadsfunctie.

De oppervlakteformule voor voor het halve trapezium rechts van de y as, die dan als lange basis x heeft, korte basis 1/2 en hoogte heb ik uit pythagoras met de driehoek van zijde 1 en andere zijde 1/2.

inderdaad dit is maar een eerstegraadsfunctie... dan raak ik er nog niet uit

point

appelsapje schreef:De oppervlakteformule voor voor het halve trapezium rechts van de y as, die dan als lange basis x heeft, korte basis 1/2 en hoogte heb ik uit pythagoras met de driehoek van zijde 1 en andere zijde 1/2.

inderdaad dit is maar een eerstegraadsfunctie... dan raak ik er nog niet uit

Je hebt dus de zeshoek in 4 trapezia verdeeld.

Niet vergeten om op het einde met 4 te vermenigvuldigen voor de totale oppervlakte dan.

Je bent goed op weg, alleen maar moet je even voorstellen dat de lengte van de kleine basis van de trapezium ook variabel is naarmate y varieert. Dus zou je het als functie van z of beter direct van x moeten uitdrukken, hetzelfde met de hoogte van de trapezium.

appelsapje

point schreef:Je hebt dus de zeshoek in 4 trapezia verdeeld.

Niet vergeten om op het einde met 4 te vermenigvuldigen voor de totale oppervlakte dan.

Je bent goed op weg, alleen maar moet je even voorstellen dat de lengte van de kleine basis van de trapezium variabel is naarmate y varieert. Dus zou je het in de functie van z of beter x moeten uitdrukken, hetzelfde met de hoogte van de trapezium.

\(\dfrac{\dfrac{1}{2}x+x}{2}\dfrac{\sqrt{5}}{2}x\)

dan?

point

\(\dfrac{\dfrac{1}{2}x+x}{2}\dfrac{\sqrt{5}}{2}x\)
dan?

Voor de hoogte heb ik echter

\(\frac{\sqrt{3}}{2}x\)

.

Maar je vergeet nog 1 ding, dit is namelijk een vierde van de totale oppervlakte.

Edit: om je uitkomst te controleren zou je bijvoorbeeld de bepaalde integraal kunnen vergelijken met hetgeen je krijgt als je handmatig de inhoud van deze piramide berekent door de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte te vermenigvuldigen !

Dat kan als een handige controle dienen wanneer je de formule voor de opp. van het grondvlak weet.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inhoud via sectie

Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie

Re: Inhoud via sectie