Reeksontwikkeling
- Berichten: 26
Reeksontwikkeling
Hallo
Een vraagje ivm de logica achter reeks ontwikkeling.
In een handboek van analyse vind ik volgende redenering terug.
1) Je weet dat de reeks van 1/sqrt(1-x) = 1 - 1/2 x + 3/8 x^2 - 5/16 x^3
2) Dus dan weet je voor 1/sqrt(1-x^2) = 1+ 1/2 x^2 +3/8^x4 +5/16x^6
Ik snap de logische afleiding niet. Ik weet wel dat ik de hele reeks kan uitrekenen met de formule van maclaurin en taylor maar in het boek staat dat 2 een logische redenering van 1 is. Hoe komt het dan dat bijvoorbeeld alle mintekens verdwijnen?
een ander voorbeeld is:
1) ln (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4
2) ln (1 - x) = -x -x^2/2 -x^3/3 - x^4/4 (ook weer logische redenering volgens het boek)
Een vraagje ivm de logica achter reeks ontwikkeling.
In een handboek van analyse vind ik volgende redenering terug.
1) Je weet dat de reeks van 1/sqrt(1-x) = 1 - 1/2 x + 3/8 x^2 - 5/16 x^3
2) Dus dan weet je voor 1/sqrt(1-x^2) = 1+ 1/2 x^2 +3/8^x4 +5/16x^6
Ik snap de logische afleiding niet. Ik weet wel dat ik de hele reeks kan uitrekenen met de formule van maclaurin en taylor maar in het boek staat dat 2 een logische redenering van 1 is. Hoe komt het dan dat bijvoorbeeld alle mintekens verdwijnen?
een ander voorbeeld is:
1) ln (1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4
2) ln (1 - x) = -x -x^2/2 -x^3/3 - x^4/4 (ook weer logische redenering volgens het boek)
- Berichten: 1.069
Re: Reeksontwikkeling
Het is inderdaad een logische redenering.
Bijvoorbeeld voor die tweede maclaurinreeks er komt nu ln(1-x) te staan, schrijf dat eens als ln(1+(-x)) en verander overal in je reeks x door (-x). Dus:
ln(1+(-x))=(-x)-(-x)^2/2+(-x)^3/3-(-x)^4/4 + ...
=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4+...
Je ziet duidelijk ook waarom de tekens veranderen.
Ga dat ook zelf eens na voor de andere (bovenstaande reeks).
Bijvoorbeeld voor die tweede maclaurinreeks er komt nu ln(1-x) te staan, schrijf dat eens als ln(1+(-x)) en verander overal in je reeks x door (-x). Dus:
ln(1+(-x))=(-x)-(-x)^2/2+(-x)^3/3-(-x)^4/4 + ...
=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4+...
Je ziet duidelijk ook waarom de tekens veranderen.
Ga dat ook zelf eens na voor de andere (bovenstaande reeks).