Integraal van een breuk

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 14-06-'11, 11:23

Meerkoetje

Berichten: 5

Integraal van een breuk

Hallo mede-forummers ;) ,

Ik heb een vraag over een wiskunde opdracht waar ik tegenaan loop. Wolfram helpt me niet veel verder, en mijn boek geeft geen uitwerkingen.

Het gaat over de volgende opdracht :
\(\int_0^0(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}) \,\mbox{d}x\)
Hij is onbepaald, maar de grensen kreeg ik niet weg in latex.

Hoever ben ik zelf al gekomen? Nou mijn insteek was in elk geval om x-1 voor de breuk te halen zodat je dit krijgt :
\(\int_0^0(({x-1})(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})) \,\mbox{d}x\)
Maar hier kom ik vast te zitten. Hoe ga ik verder? En ga ik uberhaubt goed ?

Graag jullie hulp :P

Meerkoetje
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 11:33

Kravitz

Gebruikersavatar
Berichten: 3.963

Re: Integraal van een breuk

Je zou een substitutie kunnen doen; bijv.
\(x = t^3\)
Kun je dan verder?

Ps: een onbepaalde integraal plaatsen is eigenlijk nog gemakkelijker dan een bepaalde. Je laat gewoon de grenzen weg in de code. Op die manier krijg je
\(\int(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}) \,\mbox{d}x\)
"Success is the ability to go from one failure to another with no loss of enthusiasm" - Winston Churchill
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 11:48

Meerkoetje

Berichten: 5

Re: Integraal van een breuk

Kravitz schreef:Je zou een substitutie kunnen doen; bijv.
\(x = t^3\)
Kun je dan verder?

Ps: een onbepaalde integraal plaatsen is eigenlijk nog gemakkelijker dan een bepaalde. Je laat gewoon de grenzen weg in de code. Op die manier krijg je
\(\int(\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}) \,\mbox{d}x\)
Dank voor je reactie ;) . Dat substituteren begrijp ik even niet (de regel wel, maar deze niet). Waar substitueer ik t^3 ?

Ik ben net nog even door gegaan maar ik zat te denken om het zo te doen :
\(\int(x-1)*(x^{1/3}) \,\mbox{d}x\)
Ga ik de goede kant op ? Heb het idee van niet namelijk ...
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 11:50

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Integraal van een breuk

Prima voorstel van Kravitz. Let er ook steeds op je dx te herschrijven.

Wat je schrijft, klopt niet (minteken te kort).

Schrijf letterlijk wat Kravitz voorstelt: x=t³, wat is dan dx? Vervang dan de gelijkheden die je hebt bekomen.

Lukt dat?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:04

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Integraal van een breuk

In het algemeen is het idd handiger om een substitutie uit te voeren (zoals Kravitz voorstelt). Echter is het in dees geval toch minstens even makkelijk (zo mogelijk makkelijker) om gewoon het product uit de laatste post van Meerkoetje (na aanpassing van de fout - minteken) uit te werken en beide termen te integreren? Dat zijn vrij basis-integralen in mijn ogen. Beiden van de vorm
\(\int x^a dx, a \in \rr\)
.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:07

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Integraal van een breuk

Beide termen bedoel je ;)

Inderdaad, dat is ook een goede optie.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:09

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Integraal van een breuk

In physics I trust schreef:Beide termen bedoel je :P

Inderdaad, dat is ook een goede optie.
Idd ;) . Heb het nog rap aangepast :P .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:15

Meerkoetje

Berichten: 5

Re: Integraal van een breuk

Drieske schreef:In het algemeen is het idd handiger om een substitutie uit te voeren (zoals Kravitz voorstelt). Echter is het in dees geval toch minstens even makkelijk (zo mogelijk makkelijker) om gewoon het product uit de laatste post van Meerkoetje (na aanpassing van de fout - minteken) uit te werken en beide termen te integreren? Dat zijn vrij basis-integralen in mijn ogen. Beiden van de vorm
\(\int x^a dx, a \in \rr\)
.
Ja inderdaad, ik ben vergeten het minteken erbij te typen inderdaad, maar omdat de je de 1/ weghaalt moet er natuurlijk een - voor de macht inderdaad ;) . Maar als ik die uitwerk kom ik op :
\(\int(x-1) \,\mbox {d}x = \frac{1}{2}x^2\)
\(\int(x^{-1/3}) \,\mbox{d}x = -\frac{1}{\frac{2}{3}}x^{2/3}\)
Deze 2 uiteraard keer elkaar.

Doe ik dat zo goed ? :P
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:19

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Integraal van een breuk

Nee, je moet eerst je product uitwerken. Er is immers geen regel die zegt dat
\(\int f(x) \cdot g(x) dx = \int f(x) dx \cdot \int g(x) dx\)
.

Simpelst te bedenken tegenvoorbeeld is gewoon: f(x) = g(x) = 1 (ga dit na!)...

PS: daarnaast zijn je beide integralen op zich ook fout uitgerekend. Zie je dit?

PPS: Uiteraard kun je ook kiezen voor de optie van Kravitz (en In Physics I trust) hè ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:29

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Integraal van een breuk

Voor de eenvoud zullen we beide methoden even overlopen; aangezien je nu bezig bent met die van Drieske, gaan we daar even mee verder.

Probeer steeds te herleiden tot standaardintegralen, dat vermindert te kans op foutjes aanzienlijk.

Als je niet inziet wat je fout doet in de eerste, ga dan terug naar een eenvoudige substitutie, zodat je je standaardvorm weer herkent. (x-1) noem je even u. Je hebt dan du=dx. Helpt dit? Zie je wat je fout doet?

De tweede: is dat een typfoutje of begrijp je het niet waarom er geen min-teken moet staan?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:30

Meerkoetje

Berichten: 5

Re: Integraal van een breuk

Drieske schreef:Nee, je moet eerst je product uitwerken. Er is immers geen regel die zegt dat
\(\int f(x) \cdot g(x) dx = \int f(x) dx \cdot \int g(x) dx\)
.

Simpelst te bedenken tegenvoorbeeld is gewoon: f(x) = g(x) = 1 (ga dit na!)...

PS: daarnaast zijn je beide integralen op zich ook fout uitgerekend. Zie je dit?
Inderdaad, dom van me ! Ik heb hem uitvermenigvuldigd :
\(\int(x-1)(x^{-1/3})dx = \int(x^{2/3} - x^{-1/3})dx\)
\(= \frac{3}{5}x^{5/3} - \frac{3}{2}x^{2/3} + C\)
En volgens mij klopt hij zo aardig ;) . Heb hem gecontroleerd door wat waarden in te vullen en die te vergelijken met de waarden die wolframalpha zelf heeft uitgerekend klopt dit :P .

Geloof dat ik het door heb :P . Hartelijk dank allemaal voor de super goede hulp :P

@ Hierboven; typfoutje. Ik begrijp waarom het minteken er moet staan :P . 1/x = x^-1
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:32

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Integraal van een breuk

Klopt! Prima!

Wil je nog even proberen met de substitutie?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:33

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Integraal van een breuk

Graag gedaan :P . Wat je ook steeds kunt doen als controle is opnieuw afleiden. Dan moet je weer op je te integreren functie uitkomen... En dat is hier het geval ;) .

PS: heb je substitutie al gezien bij integralen? Gewoon om te weten of de andere manier een optie was.

PPS: In Physics I trust had het over een ander minteken: hier:
\(\int(x^{-1/3}) \,\mbox{d}x = -\frac{1}{\frac{2}{3}}x^{2/3}\)
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 14-06-'11, 12:39

Meerkoetje

Berichten: 5

Re: Integraal van een breuk

In physics I trust schreef:Klopt! Prima!

Wil je nog even proberen met de substitutie?
Drieske schreef:Graag gedaan :P . Wat je ook steeds kunt doen als controle is opnieuw afleiden. Dan moet je weer op je te integreren functie uitkomen... En dat is hier het geval ;) .

PS: heb je substitutie al gezien bij integralen? Gewoon om te weten of de andere manier een optie was.

PPS: In Physics I trust had het over een ander minteken: hier:
\(\int(x^{-1/3}) \,\mbox{d}x = -\frac{1}{\frac{2}{3}}x^{2/3}\)
Substitutie ga ik nu mee beginnen :P . Mocht ik daar niet uitkomen kom ik er op terug. Ik weet wel dat de substitutie sommen aangegeven worden wanneer dit gebruikt moet worden. Die sommen zijn ook (nog) simpeler dan deze :P . Nogmaals enorm bedankt; jullie hebben me echt geholpen :P .
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”