\(I[f]:= \int\limits_\Omega w(\mathbf{x}) \text{d} \mathbf{x}\)
met \(\Omega \subset { \mathbb{R} }^n\)
en ook de benaderende functionaal \(I[f]\approx Q[f]:=\sum_{j=1}^N w_j f( { \mathbf{y} }_j )\)
met \(w_j \in \mathbb{R}\)
en met \({ \mathbf{y} }_j \in { \mathbb{R} }^n\)
zij \({ \mathcal{F} }_1\)
de vectorruimte van alle veeltermen, van graad ten hoogste \(k\)
, gedefiniëerd op \(\Omega\)
zij \({ \mathcal{F} }_0 = \left\{ f \in { \mathcal{F} }_1 \ : \ f( { \mathbf{y} }_j ) =0, \ j=1...,N \right\}\)
Veronderstel dat \(Q=I\)
voor alle veeltermen van graad ten hoogste \(2k\)
Als \(f \in { \mathcal{F} }_0\)
dan is \(\text{deg} (f) \leq k\)
en \(f( { \mathbf{y} }_j ) =0\)
voor \(j=1,...,N\)
Omdat \(\text{deg} (f^2) \leq 2k\)
is \(I[f^2]=Q[f^2]=0\)
Dan staat er verder in mijn cursus dat
\(f \equiv 0\)
op \(\Omega\)
maar dit laatste zie ik niet in en wel om 2 redenen:1) hoe kan een veelterm op een gebied met mogelijks inwendige punten nul zijn?
2) een integraal kan toch nul zijn zonder dat de functie daarvoor nul moet zijn?
. Dan zie ik niet het probleem met het hebben van inwendige punten. Zou je intuïtief kunnen verwoorden waarom inwendige punten een probleem zouden (kunnen) geven?