Vraag over integralen met c1 en c2

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 131

Vraag over integralen met c1 en c2

Afbeelding

Berichten: 164

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Als je goed leest staat er gewoon precies hetzelfde. De ln(x) is niet negatieve gedefinieerd! Alleen positief.

Bewijs:
\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|\)
|x| betekent dat je altijd de positieve waarde van x hebt. Stel je vult -2 in dan wordt dit 2, -9 wordt 9 etc... Oftewel er staat altijd een positief getal.

Nu is het zo als je die 2e formule goed leest staat er dit:
\(\int\frac{1}{x}=\ln(x)\)
voor
\(x > 0\)
Vul 2 in in ln(x) dat geeft ln(2). Omdat x groter is dan 0 staat er hier ook altijd een positief getal.
\(\int\frac{1}{x}=\ln(-x)\)
voor
\(x < 0\)
Vul -2 in in ln(x) dat geeft ln(--2)=ln(2). Omdat x altijd kleiner is dan 0 staat hier ook altijd een positief getal(, omdat er telkens -- komt te staan).

Is het zo een beetje duidelijk?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 131

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Afbeelding

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Je vraag is me niet duidelijk.

Berichten: 131

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Afbeelding

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Nee, de tweede notatie is goed iig gebruikelijk. Je moet argumenten hebben om de eerste notatie te gebruiken, want dat is niet fout.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Dit is een interessante vraag en omdat er niet vaak bij stilgestaan wordt, doe ik een poging om het helder uit te leggen.

Wanneer we een 'onbepaalde integraal' noteren, wordt daar meestal niet een primitieve mee bedoeld, maar de verzameling van alle primitieven. Daarom geven we niet 'x²' als antwoord bij een onbepaalde integraal van 2x, maar x²+C met C een willekeurige constante. Men kan namelijk tonen dat je daarmee alle primitieven hebt.

De functie ln(x) bestaat alleen voor x>0. De afgeleide van ln(x) is 1/x, dus op (0,+∞) is ln(x) een primitieve van 1/x. De verzameling van alle primitieven op (0,+∞) wordt gegeven door ln(x)+C, met C een willekeurige constante.

De functie ln(-x) bestaat alleen voor x<0. De afgeleide van ln(-x) is ook 1/x, dus op (-∞,0) is ln(-x) een primitieve van 1/x. De verzameling van alle primitieven op (-∞,0) wordt gegeven door ln(-x)+C, met C een willekeurige constante.

Merk op dat op (0,+inf), ln(x) ook geschreven kan worden als ln|x| en analoog dat op (-inf,0), ln(-x) eveneens geschreven kan worden als ln|x|. Hierdoor hebben we dus schijnbaar de mogelijkheid om die twee aparte stukken elegant samen te voegen in de vorm: ln|x| is een primitieve van 1/x voor alle x verschillend van 0.

Tot zover is nog alles goed, maar het probleem duikt op wanneer we opnieuw de verzameling van alle primitieven willen opschrijven. Dat is niet meer ln|x|+C omdat de rode C en de blauwe C van hiervoor niet noodzakelijk dezelfde hoeven te zijn! Zo is
\(F:\rr_0 \to \rr : x \mapsto\left\{ \begin{array}{rcl}{\ln|x|+5} & \mbox{als} & x<0 \\ {\ln|x|-3} & \mbox{als} & x>0 \\ \end{array}\right.\)
een geldige primitieve van de functie met voorschrift f(x) = 1/x voor x verschillend van 0, maar deze is niet van de vorm ln|x|+C. Door de primitieven op deze laatste manier samen te vatten, verlies je dus de 'mogelijkheid' om die integratieconstante op de twee stukken (x<0 en x>0) verschillend te kiezen. Je 'mist' dus een hele hoop mogelijke primitieve functies door je te beperken tot ln|x|+C.

Eigenlijk is dit laatste dus een fout in de meeste boeken, als ze tenminste eerder ook de afspraak maakten om met die onbepaalde integraal de verzameling van alle primitieve functies te noteren. Maar dit is natuurlijk eerder van wiskundig belang dan van praktisch belang, want meestal gebruik je zo'n primitieve van dergelijke functies slechts op een interval waarover functie en primitieve continu zijn.

Duidelijk zo? Hetzelfde verhaal geldt voor analoge gevallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 299

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Wanneer we een 'onbepaalde integraal' noteren, wordt daar meestal niet een primitieve mee bedoeld, maar de verzameling van alle primitieven. Daarom geven we niet 'x²' als antwoord bij een onbepaalde integraal van 2x, maar x²+C met C een willekeurige constante. Men kan namelijk tonen dat je daarmee alle primitieven hebt.
Volgens mij geef je op die manier niet alle primitieven van 2x weer. Kijk maar naar volgend voorbeeld, dat is volgens mij ook een primitieve van 2x, of zie ik iets over het hoofd?

Ik had hier nog nooit bij stilgestaan, wel interessant.
\(F:\rr \to \rr : x \mapsto\left\{ \begin{array}{rcl}{x²+1} & \mbox{als} & x<0 \\ {x²} & \mbox{als} & x=0 \\ {x²-1} & \mbox{als} & x>0 \\ \end{array}\right.\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Jouw functie F is niet differentieerbaar in x = 0 (zelfs niet continu); met andere woorden geldt voor deze functie niet dat F'(0) = f(0) en dat is wel nodig om F een primitieve van f te noemen in 0, of meer algemeen op heel R. Een functie F heet immers primitieve van f op een interval als F'(x) = f(x) voor alle x in dat interval. Je kritisch idee was wel goed, maar zie je hoe dit geen probleem veroorzaakt in het voorbeeld van deze topic (1/x), maar wel bij jouw voorbeeld?
Ik had hier nog nooit bij stilgestaan, wel interessant.
Ik denk niet dat je de enige bent... ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 299

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Analyse zal nooit mijn beste vak zijn neem ik aan:p

Ik neem aan dat het geen probleem was voor jouw functie aangezien die wel afleidbaar is in volledig R\{0}. Maar zijn er dan nog functies waar je niet alle primitieven van kan schrijven in 1 functie zoals 1/x?

Dit als laatste vraag voor ik heel het topic overneem ;)

Berichten: 131

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Afbeelding

Oops ik dacht dat ik rekening had gehouden met de breedte van dit forum... maar helaas een foutje gemaakt...

als je rechtersmuisklik--> afbeelding bekijken drukt, zijn de letters iets groter!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vraag over integralen met c1 en c2

Ik denk dat je het nu inderdaad door hebt; je boek lijkt het nog vrij netjes in te voeren allemaal. Terzijde: is het niet makkelijker om de tekst gewoon in te typen in plaats van in een plaatje te zetten? Dan heb je die ongemakjes ook niet ;) .
Ik neem aan dat het geen probleem was voor jouw functie aangezien die wel afleidbaar is in volledig R\{0}. Maar zijn er dan nog functies waar je niet alle primitieven van kan schrijven in 1 functie zoals 1/x?
Als de functie niet bestaat op heel R maar wel op minstens twee gescheiden intervallen (meer kan ook). Bekijk bv. de functies van de vorm 1/((x-a)(x-b)) voor constanten a en b; dan krijg je al drie gevallen (als a en b verschillen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer