Parametriseren functie

Yamibas

Hallo,

Ik ben aan het studeren voor mijn tentamen vectorcalculus maar ik loop behoorlijk klem op het parametriseren van functies en een daarbij behorende lijnintegraal uit te rekenen. Zou iemand mij de onderstaande opgave uit kunnen leggen (en daarnaast niet te snel over het parametriseren van de functie gaan)? Alvast bedankt.

Opgave:

Afbeelding

Antwoord a) 0

Antwoord b) 2

b) Hoeft niet uitgelegd te worden die begrijp ik, omdat het een conservatief vectorveld is.

Uitwerking:

\(\int_C(x^2-y^2)ds\)

. x en y hangen helemaal niet van s af introduceer een nieuwe variabele waarin je s uit kan drukken en x en y, zodat men iets krijgt in de vorm:

\(\int_a^bf(\underline{z}(t))||\underline{z}'(t)||dt\)

Stel

\(x=\cos(t)\underline{i}\)

en

\(y=\sin(t)\underline{j}\)

, omdat

\(x^2+y^2=1\)

met als voorwaarde dat

\( 0 \leq t \leq 2\pi\)

.

Omschrijving kromme C:

\(\underline{z}(t)=1-\cos(t)\underline{i}-\sin(t)\underline{j}\)

. z is nu een functie van t.

\(\underline{z}'(t)=\sin(t)\underline{i}-\cos(t)\underline{j}\)

\(\int_a^bf(\underline{z}(t))||\underline{z}'(t)||dt\)

\(||z'(t)||=\sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)} = 1\)

***

\(\int_a^b(\cos^2(t)-\sin^2(t))1dt=\int_a^b\cos(2t)dt=[\frac{1}{2}\sin(2t)]_a^b\)

Nu snap ik alleen niet hoe ik aan mijn grenzen a en b kom? Kan iemand dat uitleggen? Daarnaast ben ik ook nog niet volledig zeker van een correcte parametisering van mijn kromme C en mijn grenzen voor t.

***Nu zie ik ook iets in mijn aantekeningen staan:

Stel s een afstand en de totale afstand is L dan heb je altijd

\(||\underline{r}'(t)||=1\)

. Dit heeft hier niks mee te maken toch?

LVI

De parameter voorstelling van de kromme C is:

x = cos(t)

y= sin(t)

z= 1 - cos(t) - sin(t)

0

\( \leq t \leq 2 \pi \)

Je weet nu dat ds =

\(\sqrt{(\frac{dx}{dt})²+(\frac{dy}{dt})²+(\frac{dz}{dt})²} dt\)

Je integraal wordt dus nu:

\(\int (x(t)² - y(t)²) \sqrt{(\frac{dx}{dt})²+(\frac{dy}{dt})²+(\frac{dz}{dt})²} dt\)

De grenzen van je integraal zijn de grenzen van je parameter.

Heb net nagerekend en zo kom ik op 0 uit.

Zie je in wat jij fout doet? Ik vind trouwens dat jij het probleem moeilijker maakt dan het is.

LVI

excuses maar t gaat maar van 0 tot pi ( vul de punten van en naar eens in in de parametervoorstelling )

Yamibas

Wat jij allemaal vertelt loopt totaal langs mijn stof af... het voegt ook weinig waarde toe voor mij om dat zo te leren omdat het toch niet ingewikkelder wordt dan dit en mijn parametrisering toch blijkt te kloppen. Maar hoe kom jij aan de grenzen van t? Ik zie ook dat als ik gewoon van 0 tot pi invul als grenzen in mijn primitieve komt er 0 uit en heb ik het correct gedaan

. Als ik dat weet begrijp ik het. Bedankt voor je antwoord

.

Edit:

Kom jij aan je grenzen voor t omdat je weet dat alleen de cilinder snijdt met het vlak op de negatieve x-as en dus een halve cirkel wordt doorlopen?

LVI

Ik vind het bijzonder dat je lijnintegralen niet op mijn methode leert oplossen. Snel en eenvoudig.

Om toch even uit te leggen bij mijn methode ( als je dit liever niet wil weten lees dan niet

) :

Een lijnintegraal integreert over een kromme K. Integreren is een Riemann-som ( ik neem aan dat je wel weet wat dat is ). In dit geval kies je voor elk stukje kromme K een functiewaarde, en je maakt een riemann-som met de lengte van zo'n stukje en de functiewaarde.

heel logisch bekom je nu via carthesiaanse coordinaten:

ds² = dx² + dy² + dz²

nu kan je alles delen en vermenigvuldigen met dt² en zo kom je aan mijn uitdrukking voor ds, in functie van de parameter voorstelling.

Als je nu in f(x,y,z) de parametervoorstellingen invult en je transformeert ds naar dt heb je de lijnintegraal verandert in een doodgewone integraal.

Dan nu de uitleg over de grenzen:

Je ziet dat ik heel snel en gemakkelijk een parameter voorstelling maak van die kromme. Je hebt x²+y²=1 wat een cirkel met straal 1 is. Daaruit weet je dus onmiddelijk dat x = cos(t) en y = sin(t).

Voor de parameter voorstelling van z is het ook eenvoudig:

z+x+y = 1

z = 1 - x - y

nu weet je dat x = cos(t) en y = sin(t); dus:

z = 1 - cos(t) - sin(t)

De uiteindelijke parametervoorstelling:

x= cos(t)

y=sin(t)

z= 1-cos(t)-sin(t)

Er staat je integreert van (1,0,0) naar (-1,0,2).

Voor die punten moet je de waarde van t zoeken:

1 = cos(t) en -1 = cos(t)

0= sin(y) en 0 = sin(t)

0 = 1 - 1 - 0 en 2 = 1 - (-1) - 0 -> je ziet dat de parametervergelijking z(t) je geen informatie gaat oplevern.

Voor het eerste punt moet gelden: t = 0. ( zie je dat? )

Voor het laatste punt moet gelden: t =

\(\pi\)

( zie je dat? )

Nu bekijken we de gewone integraal met de parameter t:

De integraal moet variëren met de overkomstige t waarden van het begin en eindpunt van je kromme waarover je integreert.

ps: ik snap niet dat wat ik zeg naast je leerstof loopt. Dit is gewoon hoe ik lijnintegralen oplost. Ik kom ook een andere primitieve uit dan jij.

Ik denk dat je beter de theorie rond lijnintegralen nog eens bekijkt...

LVI

Misschien ter info: mijn primitieve is:

\(-\left[ \frac {(2-sin(2t))^\frac{3}{2}}{3}\right]\)

Yamibas

LVI schreef:Misschien ter info: mijn primitieve is:

\(-\left[ \frac {(2-sin(2t))^\frac{3}{2}}{3}\right]\)

De grenzen snap ik nu bedankt, maar van welke functie is dat de primitieve?

LVI

\(\int (cos²(t) - sin²(t)) \sqrt{2-sin(2t)} dt\)

zo kom je aan de primitieve;

wat jij dus fout hebt is de uitdrukking voor ds om te zetten naar dt ... je doet daar iets verkeerd. Snap je dat?

Yamibas

Jij zegt dus dat deze formule:

\(\int_a^bf(\underline{z}(t))||\underline{z}'(t)||dt\)

incorrect is?

LVI

ja, ik snap echt niets van jouw redenering. Waarop slaat dat s niet afhangt van x en y? Een cilinder en een vlak , dat vormt een ronde kromme.

Een lijnintegraal wordt opgelost door de parametervoorstelling van de kromme waarover je integreert op te stellen en de integraal om te vormen naar een integraal van enkel de parameter t.

Bij deze oefening heeft je kromme dus de eerder berekende parametervoorstelling van hierboven, dan vul je die in in de integraal.

Als je dan nog ds omzet naar dt met bovenstaande formule krijg je een enkelvoudige integraal naar t.

Je weet precies niet echt hoe het werkt, heb je daar nooit uitleg bij gekregen?

Axioma91

Jij zegt dus dat deze formule:
\(\int_a^bf(\underline{z}(t))||\underline{z}'(t)||dt\)
incorrect is?

Deze formule klopt wel. Je kunt het zo zien:

neem de sterkte f(z(t)) op het punt z(t), dus de vector die van t afhangt, en vermenigvuldig dat met hoeveel de lijn rondom dat punt verandert. Als je dat naar nul laat gaan en dus over infinitesimale stukjes integreert, krijg je de sterkte van elk punt op de lijn * de lengte. Als f(z(t)) = 1, dan reken je met deze formule de lengte van de lijn uit.

Gegeven is x^2 + y^2 = 1 en x + y + z = 1

Definieer r(t) = <x,y,z> met

x = r cos(t)

y = r sin(t)

z = z

Er volgt volgens de cilinder dat r = 1 (vul maar in)

En dus z = 1 - cos(t) - sin(t)

=>

r(t) = <cos(t),sin(t),1-cos(t)-sin(t)>

Dit is een parametrisering van de lijn waarover je gaat integreren. Merk op dat mijn r(t) jouw z(t) is.

Neem nu de afgeleide naar t:

r'(t) = < - sin(t), cos(t), sin(t) - cos(t)>

er volgt

|r'(t)| = sqrt ( sin^(t) + cos^2 (t) + [ sin(t) - cos(t) ] ^2 ) = sqrt( 1 + sin^2 (t) + cos^2(t) - 2sin(t)cos(t)) = sqrt(2 - 2sin(t)cos(t))

Goed, nu moet je in je formule uit de quote alleen nog f(r(t)) invullen en dat maal |r'(t)| doen ---> integreren over dt en klaar. Samengevat; je formule klopt.

//--------Zag de replies boven me pas later, dit komt dus ook overeen met wat LVI eerder uitlegt----------//

LVI

Je moet dus niet enkel z invullen in jouw formule, de notatie met z is bijzonder verwarrend vind ik. Ik zei dat je formule fout was omdat je ze helemaal verkeerd gebruikt. Hoe axioma de formule interpreteert is ze wel juist

LVI

Yamibas schreef:***Nu zie ik ook iets in mijn aantekeningen staan:

Stel s een afstand en de totale afstand is L dan heb je altijd
\(||\underline{r}'(t)||=1\)
. Dit heeft hier niks mee te maken toch?

volgens mij heb je het dan over de r van de cirkel die je vormt in het xy vlak voor het vormen van de cilinder. Dus de straal van de cilinder. Nogmaals, je gebruik van symbolen verwart je zelf zoveel dat je bijna overal verkeerde zaken gaat doen. Bekijk de theorie nog eens ...

Yamibas

Heb de theorie nog maar eens grondig doorgelezen en inderdaad mijn z(t) is fout. z = z in de vector en ik definieer z als de geparametriseerde functie, maar de geparametriseerde functie is gewoon een vector met (x, y, z)^T. Nu is het dus zo dat mijn geparametriseerde functie dit is:

Laat

\(\underline{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))^T\)

mijn geparametriseerde functie zijn met:

\(x(t)=r\cos(t)=\cos(t)\)

want r = 1

\(y(t)=r\sin(t)=\sin(t)\)

\(z(t)=1-\cos(t)-\sin(t)\)

\(0 \leq t \leq \pi\)

omdat:

\(\cos(t)=1\)

,

\(\sin(t)=0\)

geeft

\(t_{begin} = 0\)

\(\cos(t)=-1\)

,

\(\sin(t)=0\)

geeft

\(t_{eind} = \pi\)

Nu is:

\(\underline{r}(t)=(\cos(t), \sin(t), 1-\sin(t)-\cos(t))^T\)

\(\underline{r}'(t)=(-\sin(t), \cos(t), -\cos(t)+\sin(t))^T\)

\(||\underline{r}'(t)||=\sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t) + (\sin(t)-\cos(t))^2}\)

\(||\underline{r}'(t)||=\sqrt{1 + \sin^2(t) - 2\cos(t)\sin(t) + \cos^2(t)}\)

\(||\underline{r}'(t)||=\sqrt{2 - 2\sin(2t)}\)

Nu is het zo dat ik de integraal

\(\int_C(x^2-y^2)ds\)

moest uitrekenen dit is equivalent met

\(\int_0^\pi(cos^2(t)-sin^2(t))\sqrt{2 - 2\sin(2t)}dt=\int_0^\pi\cos(2t)\sqrt{2 - 2\sin(2t)}dt\)

Zo

nu kom ik uit op wat LVI mij al eerder aanbood

Nu kan ik gewoon integreren met de substitutie methode en grenzen invullen en voila

. Hartelijk bedankt iedereen ik begrijp het nu!

LVI

Dat is al heel wat beter dan je eerste poging. Nu begrijp je het

succes met dat tentamen!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Parametriseren functie

Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie

Re: Parametriseren functie