Ringtheorie

Siron

Ik zal maar een nieuw topic starten om verder vragen te stellen i.v.m ringen.

Ik begrijp volgende redenering niet:

Een lichaam en een veld kunnen geen nuldelers hebben omdat alle elementen die niet nul zijn symmetriseerbaar zijn voor de vermenigvuldiging.

Ik zie het verband niet echt tussen een nuldeler en symmetriseerbaar? ...

sirius

Ik denk dat je met symmetriseerbaar inverteerbaar bedoeld. Kies een element a, ongelijk aan nul, dan moet er een b zijn zodanig dat a*b=1. Als a een nuldeler is kan er geen b bestaan die dit doet.

Siron

Ik denk dat je met symmetriseerbaar inverteerbaar bedoeld. Kies een element a, ongelijk aan nul, dan moet er een b zijn zodanig dat a*b=1. Als a een nuldeler is kan er geen b bestaan die dit doet.

Ok, dus als a inverteerbaar is (met b als symmetrisch/invers element) dan geldt er zoals je zei:

\(a.b=1\)

Maar als a een nuldeler is dan geldt er

\(a.b=0\)

en dit is tegenstrijdig dus kan a als nuldeler geen symmetrisch element hebben.

Maar dit is dan toch enkel voor het geval dat b het symmetrisch element is van a? Wat als b dat nu niet is? ...

sirius

Men noemt a inverteerbaar dan en slechts dan als er een b bestaat zodat a.b=1. Als je voor b een waarde kiest zodat a.b ongelijk 1, dan heb je nog niets bewezen.

Siron

Men noemt a inverteerbaar dan en slechts dan als er een b bestaat zodat a.b=1. Als je voor b een waarde kiest zodat a.b ongelijk 1, dan heb je nog niets bewezen.

Ok! Ik begrijp het nu, bedankt.

Drieske

Nog een iets opmerken:

Als je voor b een waarde kiest zodat a.b ongelijk 1, dan heb je nog niets bewezen.

Als je met een veld of lichaam werkt, is het vrij ridicuul om b zo te kiezen. Immers weet je dat er steeds een b bestaat zodat a.b = 1.

@Siron: als a een nuldeler is, betekent dit niet dat voor elke b geldt dat a.b = 0. Enkel dat er een b bestaat zodat a.b = 0 (en uiteraard noch a noch b het nulelement hè). Dit is iets anders dan wat jij zegt, lijkt me. Kun je eens je hele 'bewijs' geven?

Siron

Er wordt heel kort over de definitie van een nuldeler gegaan zonder ergens een bewijs of stelling.

Stel a en b zijn elementen van een ring en bovendien verschillend van 0 dan wordt a een linkse en b een rechtse nuldeler genoemt als a.b=0.

Dit blijkt dus enkel zo te gelden voor een ring. In een lichaam en een veld zitten dus geen nuldelers vanwege die inverteerbaarheid.

Als b de inverse is van a dan geldt er a.b=1 dus kan a zeker geen nuldeler zijn vanwege de tegenstrijdigheid met a.b=0 als a wel een nuldeler is.

Als b niet de inverse is van a, hoe moet ik het dan bezien? ...

Bovendien heft toch niet elke ring nuldelers? Bijvoorbeeld

\(\prec Z,+,. \succ\)

is een commutatieve ring, maar bevat zeker geen nuldelers.

Drieske

Als b de inverse is van a dan geldt er a.b=1 dus kan a zeker geen nuldeler zijn vanwege de tegenstrijdigheid met a.b=0 als a wel een nuldeler is.

Dit bedoel ik net. Het is niet omdat a.b niet 0 is, dat er sowieso geen c is, zodat a.c = 0! De beste manier is om zo te beginnen:

Stel dat a een nuldeler is. Dan bestaat er een d (ik gebruik d zodat er geen verwarring ontstaat) zodat a.d = 0. Dan... Nu moet jij aanvullen tot je een tegenstrijdigheid bekomt.

Siron

Drieske schreef:Dit bedoel ik net. Het is niet omdat a.b niet 0 is, dat er sowieso geen c is, zodat a.c = 0! De beste manier is om zo te beginnen:

Stel dat a een nuldeler is. Dan bestaat er een d (ik gebruik d zodat er geen verwarring ontstaat) zodat a.d = 0. Dan... Nu moet jij aanvullen tot je een tegenstrijdigheid bekomt.

Is het belangrijk hierbij dat er in een ring gewerkt wordt? ...

Stel a is een nuldeler d.w.z a is zowel een linkse als rechtse nuldeler dus er bestaat een niet nul-zijnde d zodat: a.d=0 en ook d.a=0 (vanwege links-en rechtse nuldeler). Maar in een ring is de vermenigvuldiging niet commutatief.

Siron

Ik wilde even zeggen dat ik iets anders had gevonden dat me logischer leek. Eerst even alles op een rij zetten:

Een veld (of een lichaam) kan geen nuldelers bevatten wegens de inverteerbaarheid t.o.v de vermenigvuldiging. Nu stel a is een element van een veld met haar inverse

\(a^{-1}\)

als a een nuldeler zou zijn zou er moeten gelden voor elke b (die niet nul is):

\(a.b=0\)

, nu zou er even goed kunnen gelden:

\(a^{-1}=b\)

wat voor een tegenstrijdigheid zorgt, maar even goed

\(b\neq a^{-1}\)

en ik moet nu bewijzen dat a nog steeds geen nuldeler kan zijn vanwege dat a in een veld zit. Ik zou zeggen, vermits a en b elementen zijn van het veld (en niet 0) hebben ze beiden een invers element, nl voor a is dat

\(a^{-1}\)

en voor b is dat

\(b^{-1}\)

. Als a een nuldeler zou zijn geldt er:

\(a.b=0\)

.

Ik vermenigvuldig nu beide leden met de inverse elementen van a en b:

\((a.a^{-1}).(b.b^{-1})=0.(a^{-1}.b^{-1})\)

\(\Leftrightarrow 1=0\)

Dit is strijdig dus heeft een veld geen normaaldelers vanwege de inverteerbaarheid.

Drieske

Je begaat weer dezelfde fout. Een linkse en rechtse nuldeler moet niet op hetzelfde element werken.

Maar makkelijker is zo: stel dat er een d is zodat a.d = 0. Neem nu c zodat d.c =1 is. Dan is a.(d.c) = 0 (waarom?). Dit betekent per definitie dat a het nulelement is (waarom?).

Kun je dit mooier beargumenteren allemaal?

EDIT: jou manier klopt ook wel... Alleen maak je het moeilijker dan nodig met dat onderscheid. Dat is echt overbodig.

EDIT2: ik merk net iets op. Je maakt weer dezelfde fout: een nuldeler a betekent NIET dat voor elke b a.b = 0! Enkel dat er EEN b bestaat zodat a.b = 0.

Siron

Drieske schreef:Je begaat weer dezelfde fout. Een linkse en rechtse nuldeler moet niet op hetzelfde element werken.

Maar makkelijker is zo: stel dat er een d is zodat a.d = 0. Neem nu c zodat d.c =1 is. Dan is a.(d.c) = 0 (waarom?). Dit betekent per definitie dat a het nulelement is (waarom?).

Kun je dit mooier beargumenteren allemaal?

Omdat d.c=1 en dus a.1=0 moet a wel degelijk 0 zijn en kan a geen nuldeler zijn.

@EDIT 2:

Ok, nu begrijp ik wel beter wat een nuldeler inhoudt.

Drieske

Omdat d.c=1 en dus a.1=0 moet a wel degelijk 0 zijn en kan a geen nuldeler zijn.

Mooi

. Klopt!

@EDIT 2:

Ok, nu begrijp ik wel beter wat een nuldeler inhoudt.

Kun je, denk je, met deze definitie van nuldeler dan jouw bewijs aanpassen? Of is het een 'verloren' bewijs? (Overigens, een verloren bewijs is niets ergs hè, vaak zie je daar waar het schoentje wringt.)

Siron

Ik moest toch bewijzen dat een veld (of lichaam) geen nuldelers kan bezitten?

Nu waar ik de mist in ging was om te zeggen dat voor elke b a.b=0 en a een nuldeler is, er is slechts een b.

Stel b was een invers element van a dan kon a zeker geen nuldeler zijn dus er is hier ook een b waarvoor a geen nuldeler is.

Nu wat moet ik nu bewijzen? Als ik toch bewijs dat er voor geen enkele b a.b=0 en dus a geen nuldeler is dan heb ik toch bewezen dat een veld geen nuldelers kan hebben? Of? ...

Ik begrijp de definitie van een nuldeler nu wel, maar ik vind het nogal lastig om er dit bewijs mee te gaan voeren, lastige dingen die nuldelers

.

Drieske

Ik zal je twee mogelijke bewijzen (ruw geschetst geven). Het eerste heb ik je al gegeven: zie post #11.

Nu met jouw bewijs. Laat even heel het idee varen van dat onderscheid te maken. Dat is totaal overbodig. Begin gewoon zo: stel dat a een nuldeler is. Dan bestaat er een b (niet 0) zodat a.b = 0 (en idem een c zodat c.a = 0; ik werk enkel verder met a.b, het andere volgt analoog). Daar we in een (commutatief) lichaam werken, weten we dat er a' en b' bestaan zodat a.a' = a'.a = 1 en b.b' = b'.b = 1. Dus zo bekomen we dat: 1 = 1.1 = a'.a.b.b' = a'.0.b' = 0. Maar dit kan niet (buiten in de triviale ring). Dus a kan geen nuldeler zijn. Daar a willekeurig gekozen was, heeft een (commutatief) lichaam geen nuldelers.

Nu heb ik hierbij 2 vragen voor jou:

- klopt dit bewijs?

- is de volgorde van de elementen in "1 = 1.1 = a'.a.b.b' = a'.0.b' = 0" belangrijk?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Ringtheorie

Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie

Re: Ringtheorie