Lim(f(x)+f'(x))

stinne 3

: Naamloos.jpg (8.46 KiB) 672 keer bekeken

Ik zie er niks in.. Iemand een tip?

JorisL

Intuitief zie ik het wel. De limiet van f'(x) niet 0 is, dan blijft f(x) oneindig door stijgen/dalen dus zal de limiet van f(x) ook +/- oneindig worden.

Ik denk dat je er uit het ongerijmde wel zou kunnen geraken. Althans zo zou ik een eerste poging wagen.

Drieske

Verplaatst naar Analyse.

Ben je hier verder nog uitgeraakt?

stinne 3

Nee, ik kom er niet. Ik zie het intuïtief ook wel in. Als de limiet van f'(x) niet 0 is zal de limiet van f(x)= + of - oneindig zijn. Verder raak ik niet.

Perseus

Als je iets formeler wil dan een intuïtieve redenering, dan zou je bijvoorbeeld de regel van de l'Hospital kunnen gebruiken:

Stel eerst dat
\(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) \ne 0\)
. Dan is
\(\lim_{x \rightarrow +\infty}x\,f(x) = \pm\infty\)
, en uiteraard is
\(\lim_{x \rightarrow +\infty}x = +\infty\)
. De l'Hospital zegt dan

\(\[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x\,f(x)}{x} =\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x) + x\,f'(x)}{1}.\]\)
Dan zijn er twee mogelijkheden:
1. als
  \(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = \pm\infty\)
  , dan volgt
  
  \(\[\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}f(x) + f'(x)\right) =\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}f(x) + x\,f'(x)+f'(x)\right) =\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}f(x) + x\,f'(x)\right) = \pm\infty,\]\)
  wat een contradictie is als
  \(A\ne\pm\infty\)
  .
2. als
  \(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) \ne \pm\infty\)
  , dan volgt dat
  \(\lim_{x \rightarrow +\infty}x\,f'(x)=0\)
  , dus ook
  \(\lim_{x \rightarrow +\infty}f'(x)=0\)
  , en dan moet
  \(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=A\)
  .
Stel dat
\(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0\)
. Dan is ook
\(\lim_{x \rightarrow +\infty}1/x\,f(x) = 0\)
, en uiteraard is
\(\lim_{x \rightarrow +\infty}1/x = 0\)
. De l'Hospital zegt dan

\(\[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{x}\,f(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{-\frac{1}{x^2}\,f(x) + \frac{1}{x}\,f'(x)}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}f(x) - x\,f'(x)\right),\)
maar dan volgt opnieuw
\(\lim_{x \rightarrow +\infty}x\,f'(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}f'(x)=0\)
. Als
\(A\ne 0\)
, dan geeft dat een contradictie.

Safe

Stel:

\(\lim_{x\to\infty}f'(x)=B\; met \;B\neq 0\)

dan volgt:

\(f(x)=Bx+g(x)\; met\;\lim_{x\to\infty}g(x)=0\)

enz.

physicalattraction

Let op dat een notatie als deze

\(\lim_{x \rightarrow +\infty}x\,f(x) = \pm\infty\)

formeel gezien fout is: een limiet kan niet oneindig zijn. Je zal het om het echt kloppend op te willen schrijven dan ook met een epsilon-delta-achtige omschrijving moeten doen.

Perseus

physicalattraction schreef:Let op dat een notatie als deze

\(\lim_{x \rightarrow +\infty}x\,f(x) = \pm\infty\)
formeel gezien fout is: een limiet kan niet oneindig zijn.

Er is niks mis met die notatie. Het is een oneigenlijke limiet, gedefinieerd als

\(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty\Longleftrightarrow(\forall M \in \mathbb{R})(\exists a \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) : x > a \Longrightarrow f(x) > M.\)

physicalattraction

Ik snap wat ermee bedoeld wordt en ben het eens met je definitie. Mij is echter geleerd om zoiets nooit een limiet te noemen. Misschien verschillen we dan alleen van terminologie.

sirius

@perseus

Ik heb moeite met je toepassing van l'hospital.

In geval 1a, zijn beide limieten, die van f/g en f'/g' onbepaald, terwijl l'hospital eist dat ze allebei bepaald zijn.

In geval 1b en 2 moet je dus ook bewijzen dat de limiet van x f'(x) bestaat ander gaat het mis. Probeer maar eens f(x)=sin(x^2)/x^2 + A. Deze functie past perfect binnen de bewijzen stelling, echter de limiet van f(x)+x'(f(x)) of van f(x)-xf(x) voor x naar oneindig bestaat niet.

sirius

Een correcter antwoord zou zijn:

\(f(x)+f'(x)=g(x)\)

impliceert

\(f(x)=exp[-x](b+\int \limits_a^x exp[x'] g(x')) dx'\)

voor een willekeurig a en b. Als

\(lim_{x\rightarrow \infty} g(x) = A\)

dan volgt hieruit het gevraagde.

Safe

sirius schreef:Een correcter antwoord zou zijn:

\(f(x)+f'(x)=g(x)\)
impliceert
\(f(x)=exp[-x](b+\int \limits_a^x exp[x'] g(x')) dx'\)
voor een willekeurig a en b. Als
\(lim_{x\rightarrow \infty} g(x) = A\)
dan volgt hieruit het gevraagde.

Kan je dit even afleiden?

Wat is er mis aan mijn hint?

sirius

@Safe

Het probleem met je hint is dat hij niet volledig is, je bewijst niet dat f'(x) convergeert naar nul. Je sluit alleen uit dat f'(x) convergeert naar een waarde ongelijk aan nul. Echter, hij zou ook niet kunnen convergeren.

Jouw argument zou ook werken als de gestelde de limiet van f(x)-f'(x) was geweest. Echter als je nu f(x)=exp(x) kiest divergeert f(x) en f'(x) ondanks dat f(x)-f'(x) convergeert naar nul.

Is het goed is als ik een paar extra stappen geef? Ik heb niet zoveel zin om het helemaal uit te schrijven.

Om te beginnen los de homogene vergelijking f(x)+f'(x)=0. Dit geeft f(x)=exp(-x). Los nu de particuliere vergelijking op, i.e. f(x)+f'(x)=g(x), door middel van variatie van constanten, i.e. probeer f(x)=exp(-x)h(x). Nu volgt h'(x)exp(-x)=g(x). Zo kom je op mijn uitdrukking voor f(x).

Om de limiet te bewijzen, moeten voor iedere epsilon>0 een X vinden zodat |f(x)-A|<epsilon voor iedere x>X.

Kies X1 z.d.d. |g(x)-A|<epsilon/2.

Kies

\(X2=-log \Bigl[ \frac{epsilon}{2(b+\int \limits_a^{X1} exp[x'] g(x')) dx'} \Bigr]\)

Kies X=max(X1,X2). Nu volgt het gevraagde.

Sorry dat ik niet volledig alle stappen uitschrijf. Als je wil dat ik iets nog nauwgezetter opschrijf laat het dan weten.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Lim(f(x)+f'(x))

Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))

Re: Lim(f(x)+f'(x))