Notatie verzamelingen van vectorruimte

christopheb

Hoi,

Het is iets heel triviaal, maar ik slaag er niet in om het op een andere manier op te zoeken.

In mijn cursus gebruikt men voor vectorruimten de volgende twee verzamelingen:

\(R[X]^3\)

en

\(R[X]_{\leq 3}\)

Nu weet ik dat de laatste "veeltermen van graad kleiner of gelijk aan 3" voorstelt, maar wat betekent de eerste dan? Mijn vermoeden is "veeltermen van graad precies 3".

Nu lijkt mij dat raar, aangezien ik gelezen heb dat de verzameling veeltermen van graad precies n, geen vectorruimte is.

Zou iemand dit kunnen toelichten?

Drieske

Ben je zeker van het superscript? Want volgens mij is dat dan gewoon R[x] x R[x] x R[x] dat ze hier bedoelen.

Idien het toch subscript is, ben je dan zeker dat het sowieso een vectorruimte betreft?

PS: kun je uitleggen waarom "veeltermen van graad precies 3" geen vectorruimte vormen?

christopheb

Zou het een typfout in de cursus kunnen zijn? Men gebruikt namelijk wel de basis

\(\{1,X,X^2,X^3\}\)

. Misschien wordt er gewoon

\(R[X]_{\leq 3}\)

bedoeld.

Ik dacht alleen dat het zelfs, met die basis, nog mogelijk was om veeltermen van exact graad 3 te bedoelen, kwestie dat met die basis ook veeltermen met een 3de graad gevormd kunnen worden. Of is

\(x+x^2+x^3\)

geen veelterm van exact graad 3?

Drieske

Zou het een typfout in de cursus kunnen zijn? Men gebruikt namelijk wel de basis
\(\{1,X,X^2,X^3\}\)
. Misschien wordt er gewoon
\(R[X]_{\leq 3}\)
bedoeld.

Dat is mogelijk

. Maar van hieruit moeilijk te beoordelen uiteraard. Maar als dat de basis is, is het naar mijn mening niet onwaarschijnlijk.

Ik dacht alleen dat het zelfs, met die basis, nog mogelijk was om veeltermen van exact graad 3 te bedoelen, kwestie dat met die basis ook veeltermen met een 3de graad gevormd kunnen worden. Of is
\(x+x^2+x^3\)
geen veelterm van exact graad 3?

Dat is inderdaad een veelterm van exact graad 3. Maar de ruimte van veeltermen van exact graad 3, is geen vectorruimte... Neem immers ax³+bx²+cx+d willekeurig en beschouw dan -ax³+bx³+cx+d. Dan zie je dat de som van deze twee veeltermen een veelterm van graad 3 geeft...

Dus: is het zeker een vectorruimte?

physicalattraction

Want volgens mij is dat dan gewoon R[x] x R[x] x R[x] dat ze hier bedoelen.

Dat denk ik ook. En

\(R[X] \times R[X] \times R[X]\)

is dan een deelverzameling van

\(R[X]_{\le 3}\)

waarbij alle nulpunten reëel zijn. Zo zit

\((X^2+1)(X+1)\)

wel in

\(R[X]_{\le 3}\)

, maar niet in

\(R[X]^3\)

. Of dit een lineaire deelruimte is durf ik niet direct te stellen, maar dit kun je zelf nagaan.

christopheb

Drieske schreef:Maar de ruimte van veeltermen van exact graad 3, is geen vectorruimte... Neem immers ax³+bx²+cx+d willekeurig en beschouw dan -ax³+bx³+cx+d. Dan zie je dat de som van deze twee veeltermen een veelterm van graad 3 geeft...

Dus: is het zeker een vectorruimte?

Bedoelde je toevallig niet ax³+bx²+cx+d en -ax³+bx²+cx+d (tweede graad x bij b)? Dan is de optelling een tweedegraads veelterm, en hoort die niet meer tot de vectorruimte van veeltermen met graad exact 3.

\(R[X] \times R[X] \times R[X]\)
is dan een deelverzameling van
\(R[X]_{\le 3}\)
waarbij alle nulpunten reëel zijn.

Wat is de reden dat de nulpunten reëel moeten zijn? Is het bovendien niet mogelijk dat

\(R[X] \times R[X] \times R[X]\)

een veelterm van graad > 3 geeft, waardoor het dus geen deelverzameling is van

\(R[X]_{\le 3}\)

?

\(R[X]\)

is op zich toch een vectorruimte van veeltermen met willekeurige graad? Dus het product daarvan kan eventueel een hogere graad krijgen dan 3?

physicalattraction

Volgens mij hebben we een spraakverwarring. Ik leg hier even uit wat ik bedoelde en dan mag jij kijken of je het er mee eens bent.

\(R[X]\)

is de verzameling van alle polynomen van ten hoogste graad 1 en met reële coëfficiënten. Deze zijn dus in het algemeen te schrijven als

\(a_1 X + a_0\)

. Wanneer we nu drie willekeurige polynomen van ten hoogste graad 1 met elkaar vermenigvuldigen, vinden we een polynoom van ten hoogste graad 3. Dit kun je nagaan door zelf de coëfficiënten te bepalen van

\((a_1 X + a_0) \cdot (b_1 X + b_0) \cdot (c_1 X + c_0) = \alpha_3 x^3 + \alpha_2 X^2 + \alpha_1 X + \alpha_0\)

. Hier zie je dus dat

\(R[X]^3\)

een deelverzameling is van

\(R[X]_{\le 3}\)

.

Het feit dat alle nulpunten reëel zijn volgt uit hoe de polynomen zijn opgebouwd. In bovenstaand voorbeeld zijn de nulpunten respectievelijk

\(\frac{a_0}{a_1}\)

,

\(\frac{b_0}{b_1}\)

en

\(\frac{c_0}{c_1}\)

, als we er even van uitgaan dat de leidende coëfficiënten ongelijk 0 zijn. Deze zijn dus per definitie reëel. Er zitten in

\(R[X]^3\)

echter elementen (polynomen) die complexe nulpunten hebben, een voorbeeld heb ik in mijn vorige post gegeven.

ZVdP

Als je

\(R[X]^3\)

als

\(R[X] \times R[X] \times R[X]\)

beschouwt, dan is dit toch niet het product van 3 veeltermen? Voor zover ik mij herinner staat 'X' voor een cartesisch product. Dus krijg je een vector van 3 componenten, waarbij elke component een veelterm is.

Net zoals

\(\mathbb{R}^3=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\)

niet het product is van 3 getallen, maar een vector met 3 reële componenten.

Drieske

Naast wat ZvdP (terecht) opmerkt, heb ik nog één bijkomende vraag voor physicalattraction. Laten we even uitgaan van jouw "definitie" van R[X]. Hoe zou jij dan de ruimte van alle veeltermen noteren? Bovendien nog een kleinigheid. Misschien bedoelt de TS wel de reële getallen, maar in Leuven gebruikt men R vaak voor een (willekeurige) ring. En dan is R[X] dus niet een veelterm (al dan niet beperkt tot graad 1) met reële coëfficiënten, maar een veelterm met coëfficiënten uit de ring R...

Daarnaast nog een kleine typo in je post denk ik:

Er zitten in
\(R[X]^3\)
echter elementen (polynomen) die complexe nulpunten hebben, een voorbeeld heb ik in mijn vorige post gegeven.

Volgens mij bedoel je

\(R[X]_{\leq 3}\)

volgens jouw definities?

physicalattraction

Hmmm, verrek!

\(R[X]\)

volgens jouw definities?[/quote]

Ja, dat was een typo.

christopheb

Bedankt voor alle reacties. Mag ik uit bovenstaande opmerkingen besluiten dat

\(R[X]^3\)

telkens een 3-tal

\((R[X],R[X],R[X])\)

is waarbij elk element een veelterm met coëfficiënten uit de ring R is?

Drieske

Dat lijkt inderdaad de meest voor de hand liggende conclusie

. Dat je coëfficiënten elementen uit je ring R zijn, is zeker

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Notatie verzamelingen van vectorruimte

Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte

Re: Notatie verzamelingen van vectorruimte