Afgeleide e^x opnieuw e^x

vrc

dag,

ik ben eventjes bezig geweest met te bewijzen dat de afgeleide van e^x terug e^x is , kwam tot deze vaststelling:

f'x)=lim a->0 (e^(x+a)-e^)/a , dus gewoon de definitie van een afgeleide toepassen

dit geeft dan : f'(x)=e^x*lim a->0 ((e^a-1)/a)

heo berkenen ik het vetgedrukte dan ? het resultaat ken ik hoor maar hoe kom ik er tot dat dit 1 moet zijn

in prinipe is dit gewoon een limiet berekenen maar ik zie het niet goed in.

mvg

Safe

Eigenlijk ga je uit van f(x)=a^x met a>0 en a niet 0, dan laat je zien dat er een getal moet bestaan waarvan de afgeleide weer de functie zelf oplevert. Dat getal noemen we dan e.

vrc

euhm ja ,

maar het vinden van het getal e is eigenlijk ook een resultaat van dit 'bewijs' immers de eerste persoon dit deze afleiding maakt ging niet echt uit van kennis te hebben van e=2.71, maar wou gewoon weten wat de afgeleide was van een getal(ik zal dit hier b noemen) tot de macht x, en tijdens het uitwerken kan je dan (zoals ik ook deed) b^x afzonderen en kom je dan dit dit limiet..

is het dan meer de bedoeling van b een waarde te geven en via traial and error tot e te komen omdat anders die limiet niet naar 1 ging...

hoop dat je minn interpretatie een beetje kan volgen..

mvg

aadkr

\(\lim_{\Delta x ->0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} \)

Het gaat om de berekening van deze limiet . Daar komt inderdaad 1 uit , maar hoe valt dit te bewijzen.

Perseus

Ik denk dat de exponentiële functie historisch voortkomt uit de studie van aangroei van rente bij een bepaald bedrag. Jacob Bernoulli vond als eerste het getal

\(e\)

, gedefinieerd als

\(\[e = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.\]\)

Later kon Euler dit uitbreiden tot de functie

\(\[e^x = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n,\]\)

met de bekende eigenschappen.

Siron

aadkr schreef:
\(\lim_{\Delta x ->0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} \)
Het gaat om de berekening van deze limiet . Daar komt inderdaad 1 uit , maar hoe valt dit te bewijzen.

De l'Hopital zou een uitweg kunnen zijn.

Axioma91

Je kunt met de inverse functiestelling bewijzen dat

\( \frac{d ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}\)

(ik weet niet hoever je wilt gaan en wat je gehad hebt - je moet dan bewijzen dat lnx strikt stijgend continu, diffb etc)

Neem bovenstaande en vervang x door e^x

dan

\( \frac{d ln(e^x)}{dx} = 1\)

Volgens kettingregel (of product, vergeet altijd wie wat is) geldt nu

\( \frac{1}{e^x} * [e^x]' = 1\)

maar dan

\( [e^x]' = e^x\)

.

Safe

Eigenlijk ga je uit van f(x)=a^x met a>0 en a niet 0, dan laat je zien dat er een getal moet bestaan waarvan de afgeleide weer de functie zelf oplevert. Dat getal noemen we dan e.

Ga eens uit van de grafieken van 2^x en 3^x. Als je dit netjes doet blijkt de rc v draaklijn in (0,1) voor 2^x kleiner dan 1 en voor 3^x groter dan 1. Het ligt voor de hand om te veronderstellen dat er een getal a tussen 2 en 3 moet zijn zodat de rc v d raaklijn voor a^x precies 1 is.

Teken de lijn y=x+1 en y=a^x en neem aan dat naast het snijpunt (0,1) er een tweede snijpunt met y=a^x is. Stel dat dit snijpunt een positieve x-coord heeft. Dan moet gelden:

\(a^x=x+1\)

dus:

\(a=(x+1)^{1/x}\)

met 2<a<3,

Dus moet gelden, als dit getal bestaat en we noemen dat e:

\(e=\lim_{x\to 0}(x+1)^{1/x}\)

Stellen we x>0 en x=1/n, dan krijgen we:

\(e=\lim_{n\to \infty}(1+\frac 1 n)^n\)

Maar ook met x<0 en x=-1/n:

\(e=\lim_{n\to \infty}(1-\frac 1 n)^{-n}\)

En nu hebben we de limieten die Perseus noemt.

Bovendien geldt nu per definitie:

\(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\)

Ga dat na.

Het bewijs dat beide limieten bestaan (gelijk aan e) is in een andere topic uitvoerig behandeld.

ZVdP

De l'Hopital zou een uitweg kunnen zijn.

Let op dat je zogezegd de afgeleide van e^x nog niet kent.

Door L'Hopital toe te passen krijg je dus

f'(x)=e^x f'(0)

Nu moet je nog altijd aantonen dat f'(0) gelijk is aan 1.

Wat je nog als alternatief kan doen is een van de mogelijke definities nemen:

\(e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\)

Als je de afgeleide neemt van de som, krijg je weer dezelfde uitdrukking.

Alleen weet ik natuurlijk niet of je deze definitie van e^x gezien hebt?

Siron

ZVdP schreef:Let op dat je zogezegd de afgeleide van e^x nog niet kent.

Door L'Hopital toe te passen krijg je dus

f'(x)=e^x f'(0)

Nu moet je nog altijd aantonen dat f'(0) gelijk is aan 1.

Wat je nog als alternatief kan doen is een van de mogelijke definities nemen:

\(e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\)
Als je de afgeleide neemt van de som, krijg je weer dezelfde uitdrukking.

Alleen weet ik natuurlijk niet of je deze definitie van e^x gezien hebt?

Je hebt gelijk, de l'Hopital gaat hier niet, want dan ga ik er inderdaad vanuit dat ik de afgeleide van e^x al ken terwijl die nog gezocht moet worden.

Bedankt voor de verbetering!

Drieske

Welke eigenschappen van de exponentiële functie mag je gebruiken? Mag je bijv gebruik maken van het feit dat ln(e^x) = x?

vrc

ik vermoed dat safe veruit het dichst bij mijn antwoord komt, kan je me nog even de link geven van het topic waar die bewijsjes uitgewerkt staan, of hoe deze topic noemen ?

danku

mvg

Safe

Hier vind je meer:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=136487

vrc

even door dat topic gebladerd, komen veel wiskundige bewijzen met rijen en reeksen in voor, niet direct mijn sterkste vak,

anderzijds kan ik verschil tussen 2^x en 3^x op een grafiek wel duiden en intuitief zegt me dat er dan ind. een waarde moet zijn waarvoor de raaklijn van de grafiek a^x in het punt (0,1) kan geschreven worden als y= x+1

mijn vraag is bij deze beantwoord, danku

mvg

Safe

Alleen voor een specifieke waarde van a.

Succes verder.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Afgeleide e^x opnieuw e^x

Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x

Re: Afgeleide e^x opnieuw e^x