\(\vec{k}\)
, \(\vec{l}\)
, \(\vec{m}\)
en \(\vec{n}\)
:(1)
\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{r'} e^{-i(\vec{k} \cdot \vec{r} + \vec{l} \cdot \vec{r'} - \vec{m} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{r'})} \frac{e^{-|\vec{r}-\vec{r'}|/a}}{|\vec{r}-\vec{r'}|/a} \delta_{\vec{k}+\vec{l},\vec{m}+\vec{n}}\)
Hierin is \(\Omega\)
het normalizatievolume, dus:(2)
\(\iiint d^3\vec{r} = \Omega\)
. Volgens het boek waar deze in staat (A guide to Feynman diagrams in the Many-body problem, Richard Mattuck) is dit gelijk aan:
(3)
\(V_{klmn} = \frac{1}{\Omega} \frac{4 \pi V_0 a^3 \delta_{\vec{k}+\vec{l},\vec{m}+\vec{n}}}{1+(\vec{k}-\vec{m})^2a^2} = \frac{1}{\Omega} \frac{4 \pi V_0 a^3 \delta_{\vec{k}+\vec{l},\vec{m}+\vec{n}}}{1+(k^2+m^2-2km \cos (\theta))a^2}\)
,waarbij
\(\theta\)
de hoek is tussen \(\vec{k}\)
en \(\vec{m}\)
. Dit zie ik niet in. Dit is wat ik al geprobeerd heb:Vul de delta-functie in door te schrijven
\(\vec{n} = \vec{k} + \vec{l} - \vec{m}\)
. Eigenlijk moet je hierna altijd de delta-functie achter alle uitdrukkingen zetten, deze laat ik voor een simpelere notatie even achterwege.(4)
\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{r'} e^{-i(\vec{k} \cdot \vec{r} + \vec{l} \cdot \vec{r'} - \vec{m} \cdot \vec{r} - (\vec{k} + \vec{l} - \vec{m})\cdot \vec{r'})} \frac{e^{-|\vec{r}-\vec{r'}|/a}}{|\vec{r}-\vec{r'}|/a} }\)
(5) \(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{r'} e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) \cdot (\vec{r} - \vec{r'})} \frac{e^{-|\vec{r}-\vec{r'}|/a}}{|\vec{r}-\vec{r'}|/a} }\)
Nu pas ik een substitutie van variabelen toe:(6)
\(\iiint d^3 \vec{r'} = \iiint d^3 (\vec{r} - \vec{r'}) = \iiint d^3 (\vec{u})\)
Waarmee de integraal wordt:(7)
\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega^2} \iiint d^3\vec{r} \iiint d^3 \vec{u} e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) \cdot \vec{u}} \frac{e^{-|\vec{u}|/a}}{|\vec{u}|/a} }\)
De integrand hangt nu niet meer van \(\vec{r}\)
af, dus de buitenste integraal kan met (2) opgelost worden:(8)
\(V_{klmn} = \frac{V_0}{\Omega} \iiint d^3 \vec{u} e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) \cdot \vec{u}} \frac{e^{-|\vec{u}|/a}}{|\vec{u}|/a} }\)
En dit is het punt waarop ik min of meer vastloop. Ik wil nu overgaan op bolcoordinaten, maar hoe ziet het inproduct van \(\vec{k} - \vec{m}\)
met \(\vec{u}\)
er dan uit? Dit is wat ik krijg als ik \(\vec{k} - \vec{m}\)
als een gewoon getal opvat:(8)
\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \int du u^2 e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) u} \frac{e^{-u/a}}{u/a} }\)
(9) \(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \int du u a e^{-i(\vec{k} - \vec{m}) u} e^{-u/a} }\)
(10) \(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} [\frac{a^2 e^{-\frac{u}{a} (1+i (\vec{k} - \vec{m}) u a)}(i a (\vec{k} - \vec{m}) u + a + u)}{(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)^2}]_{u=0}^{u=\infty}\)
(11) \(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \frac{a^3}{(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)^2}\)
Dit lijkt een beetje op het antwoord uit (3), wat anders opgeschreven dit is:(12)
\(V_{klmn} = \frac{4 \pi V_0}{\Omega} \frac{a^3}{(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)(a (\vec{k} - \vec{m}) - i)}\)
Maar de noemer is niet hetzelfde. Bovendien vraag ik me af of je \(\vec{k} - \vec{m}\)
wel zomaar als getal mag opvatten. Kan iemand me hierbij helpen?
