Transformatie traagheidstensoren

Moderator: physicalattraction

Reageer

Bericht 12-08-'11, 10:53

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Transformatie traagheidstensoren

Hallo,

Uiteraard ben ik bekend met volgende formule voor de transformatie van de traagheidstensor naar een ander orthogonaal assenstelsel:
\(\overline{\overline{I'}}=A \cdot \overline{ \overline{I}} \cdot A^{\tau}\)
waarbij A de matrix is die de componenten van een vector x op en vector x' afbeeldt in dit nieuwe orthogonale assenstelsel.

Men kan deze formule echter ook in indexnotatie schrijven, en het is daar dat ik niet goed mee ben:
\(I'^{\lambda \mu}= \alpha_i^{\lambda} \cdot \alpha_j^{\mu} \cdot I ^{ij}\)
waarbij
\( \alpha_i^{\lambda}\)
de indexnotatie is voor de matrix A. Hoe kan ik inzien hoe men de getransponeerde van A voor de tensor schrijft? Is dat omdat we simpelweg werken met componenten in deze representatie en dat bij scalairen de vermenigvuldiging uiteraard wel commutatief is (in tegenstelling tot de matrices)?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 15-10-'11, 23:30

aestu

Berichten: 254

Re: Transformatie traagheidstensoren

\(I = I^{\mu \lambda}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{ \lambda}}\)
onder een algemene transformatie is
\(\frac{\partial}{\partial x^{ \mu}} = \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) \frac{\partial}{\partial x^{' \kappa}} \)
en dus
\(I = I^{'\kappa \nu}\frac{\partial}{\partial x^{' \kappa}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{' \nu}} = I^{\mu \lambda}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{ \lambda}}=I^{\mu \lambda} \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) \left( \frac{\partial x^{' \nu}}{\partial x^{\lambda}} \right) \frac{\partial}{\partial x^{' \kappa}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{' \nu}}\)
waaruit
\( I^{'\kappa \nu} = I^{\mu \lambda} \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) \left( \frac{\partial x^{' \nu}}{\partial x^{\lambda}} \right) = \left( \frac{\partial x^{' \kappa}}{\partial x^{\mu}} \right) I^{\mu \lambda} \left( \frac{\partial x^{' \nu}}{\partial x^{\lambda}} \right) = \alpha^{\kappa}_{\,\,\mu} I^{\mu \lambda} \alpha^{ \, \,\nu}_{ \lambda}\)
de componenten van
\(\alpha\)
zijn getallen of functies
Omhoog

Bericht 15-10-'11, 23:58

aestu

Berichten: 254

Re: Transformatie traagheidstensoren

en die componenten volgen gewoon uit de transformatieformules van een coordinatentransformatie. Het is mss te laat, maar hier heb je toch een antwoord. Voor een orthogonale coordinatentransformatie is
\(\alpha^{T}\alpha \)
de eenheidsmatrix. Een voorbeeld hiervan is een rotatie van een assenstelsel over een bepaalde hoek ( met nog steeds dezelfde oorsprong) waar je dingen zoals
\(cos(\theta)\)
en
\(sin(\theta)\)
zal zien opduiken als componenten.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Klassieke mechanica”