Bedankt ZVDP! Ik heb er nog eens naar gekeken en ik ben nu tot een oplossing gekomen waar ik ze wel kan splitsen:
Dus als ik de substitutie gebruik
\(x+2y=t\)
en dus
\(dt=dx+2dy \Leftrightarrow dy=\frac{dt}{2}-\frac{dx}{2}\)
Substitutie in de DV geeft:
\(\frac{\frac{dt-dx}{2}}{dx}=\frac{2t+1}{t^2}\)
\(\Leftrightarrow t^2\cdot\left(\frac{dt-dx}{2}\right)=(2t+1)dx\)
\(\Leftrightarrow \frac{t^2}{2}dt=(2t+1)dx + \left(\frac{dx}{2}\cdot t^2\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2dt=\left(4t+2+t^2)dx\)
\(\Leftrightarrow \frac{t^2}{t^2+4t+2}dt=dx\)
Nu kan ik beide leden integreren:
\(\int \frac{t^2}{t^2+4t+2}dt=\int dx\)
Met de euclidische deling wordt de integrand:
\(\int \left(1-\frac{4t+2}{t^2+4t+2}\right)dt=x+C\)
\(\Leftrightarrow t - \int \left[\frac{2(2t+4)}{t^2+4t+2}-\frac{6}{t^2+4t+2}\right]dt=x+C\)
\(\Leftrightarrow t - 2\ln|t^2+4t+2|-\int \frac{6}{(t+2)^2-2}dx=x+C\)
\(\Leftrightarrow t - 2\ln|t^2+4t+2|-6\int \frac{6}{(t+2)^2-(\sqrt{2})^2}dt=x+C\)
Stel
\(t+2=v\)
dan is
\(dt=dv\)
en bijgevolg:
\(\Leftrightarrow t - 2\ln|t^2+4t+2|-6\int \frac{6}{v^2-(\sqrt{2})^2}dt=x+C\)
\(\Leftrightarrow t - 2\ln|t^2+4t+2|-\frac{3\ln|-t+\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}+\frac{\ln|t+\sqrt{2}+2|}{\sqrt{2}}=x+C\)
Het zou kunnen dat er nog ergens een fout in zit bij het integreren, maar belangrijker nu is dat ik de werkwijze snap.
