Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

aadkr

Hoe kan ik met behulp van een bepaalde integraal het oppervlak van de mantel van een cilindrische kegel berekenen?

Ik heb het geprobeerd, maar het antwoord klopt niet.

Drieske

Wat bedoel je juist met een cilindrische kegel? Die terminologie is mij vreemd, tenzij je gewoon een kegel bedoelt

.

En kun je eventueel ook jouw poging laten zien?

aadkr

Drieske, ik bedoel inderdaad een gewone kegel,

Ik zal je mijn berekening laten zien.

aadkr

: scan0013.jpg (233.87 KiB) 320 keer bekeken

Het juiste antwoord zou moeten zijn:

\(A_{mantel}=\pi \cdot R \cdot s \)

Ik heb waarschijnlijk dat oppervlakteelement dA verkeerd aangenomen.

Drieske

Hmm, ik zal proberen om straks eens te kijken naar jouw uitwerking. Maar ik zie dat je niet de formule voor een omwentelingsoppervlak gebruikt? Goede uitleg daarover vind je hier. Misschien kun je daarmee eens aan de slag? Normaal komt dat wel mooi uit

.

In physics I trust

Als je het bekijkt als een som van cirkelomtrekken met lengte

\(2 \pi x\)

waarbij x varieert tussen 0 (top) en R (basis), lukt het dan? Of zie ik iets over het hoofd?

aadkr

Drieske, dank zij de gouden tip die jij me gaf ,is het me gelukt. Daarbij heb ik de kegel als het ware horizontaal geplaatst zodat de formule die op de website stond direkt toepasbaar is.

Maar de formule geldt niet als de y as de rotatieas is .Welke formule geldt dan wel ?

: scan0015.jpg (256.89 KiB) 304 keer bekeken

klazon

Je kunt de kegelmantel denkbeeldig openknippen van de onderrand naar de top. Dan ontrol je de mantel totdat hij plat is.

Je krijgt dan een cirkelsegment met straal S.

Van een cirkel is de oppervlakte bekend. Uit de verhouding van S en R kun je uitrekenen wat het percentage is van het segment t.o.v. de volle cirkel, en zo bepaal je de oppervlakte van het segment.

Oppervlakte volle cirkel: pi*S²

Oppervlakte segment is (R/S)*opp. cirkel = (R/S) * pi*S² = pi*R*S

aadkr

Klazon , bedankt voor je reactie

Zo kan het natuurlijk ook. Maar wat ik nu nog wil proberen is om met behulp van een bepaalde integraal het manteloppervlak van een kegel te berekenen als de y as de rotatieas is.

Dan geldt de formule die op de website stond niet meer. Dan geldt natuurlijk een andere formule. Ik zal proberen om deze formule af te leiden.

aadkr

De formule die ik zocht staat ook op die website

Bij wenteling om de y as geldt:

\(S=\int 2 \pi x \sqrt{1+{(\frac{dx}{dy})}^2} \cdot dy \)

De afleiding van deze formule is me nog niet duidelijk.

ZVdP

De reden waarom het met jouw eerste poging misliep, is dat je met een trapfunctie de booglengte niet kan benaderen. Je benaderde de kegel als een stapeling van cilinders, maar dit kan, zelfs in de limiet, niet de schuine zijde van de kegel benaderen.

Vergelijk het met de diagonaal van een eenheidsvierkant vierkant. Deze heeft lengte

\(\sqrt{2}\)

. Als je de lengte probeert te benaderen met een trapfunctie, dan blijft de lengte van deze trap 2, ongeacht de grootte van een trede.

Hoe komen we nu aan die formule?

: Naamloos.jpg (6.78 KiB) 303 keer bekeken

Lokaal benaderen we de curve door een rechte, in plaats van een trap.

Hierdoor kunnen we nu de oppervlakte van de wentelfiguur berekenen door 2pi*y*ds

\(ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{(\frac{dy}{dx})^2+1}dx\)

Is de afleiding duidelijk?

aadkr

ZVdP, de afleiding is me nu duidelijk. Bedankt!!

: scan0016.jpg (155.71 KiB) 304 keer bekeken

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel

Re: Berekenen oppervlak van mantel van cilindrische kegel