Breuken met letters

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 12-09-'11, 13:29

Vianona

Berichten: 8

Breuken met letters

Beste allemaal,

Sinds recent gestopt met het MBO en toch maar naar de HAVO om dat af te maken. Aldus ook weer leuk old-school Wiskunde B uit een boekje vol met sommen en bar weinig uitleg. Genoot op het VMBO een geweldige leraar die dit in groot detail kan uitleggen, helaas is dat met deze leraar niet het geval.

Begin van het jaar begint dan ook weer met een lievelings onderwerp: breuken.

Vrij makkelijk, met getallen dan. Vereenvoudigen, delen en vermenigvuldigen is geen probleem, maar dan komt het boek aanzetten met 'Breuken met Letters', en dan ben ik ook echt het spoor bijster.

Een paar voorbeelden:

3x / 3y = x/y, dat snap ik nog.

4x / 6y = 2x/3y. So far, so good.
\(x^2 / x^3\)
... en dan loop ik vast.

Volgens het antwoorden boek is dat dan:
\(x^2*1 = 1\)
. Maar x-kwadraat keer 1 is toch... x-kwadraat?

Hoe dan ook, zo staat het in het boek:
\(x^2/x^3 = (x^2*1)/(x^2*x) = 1/x\)
Maar wacht eens even. Hoe kan dat nou? Hoe kan
\(x^3\)
nou op eens
\(x^2*x\)
worden? Hoezo is dat op eens van
\(x^3\)
naar
\(x^2\)
gegaan.

Kan iemand mij misschien heel duidelijk (en het liefst zo simpel mogelijk) uitleggen hoe dat nou gaat met letters? Mis ik nou iets heel logsich of ben ik gewoon heel dom bezig? Of is dit meer iets wat je eerst even voor gedaan moet worden en dat het dan heel logisch is?

Hopelijk kan iemand me helpen, ik ben ten einde raad en ik word er vrij depri van, aangezien ik hier nog 30 sommen van moet maken.

Oh, ja, het voorbeeld zegt trouwens dit:
\(2a/2b = (2*a)/(2*b) = a/b\)
, maar dat is toch
\(a^2/b^2\)
? Hoe kan
\(2*a\)
nou
\(a\)
als antwoord geven?!

edit: Ok ik ben dus een beetje dom. a*a = a-kwadraat. 2*a = 2a. Sorry. De rest snap ik dus nog niet en wat ik ook probeer, ik kom er niet uit. Dan blijft nog wel de vraag, hoe kan
\(2*a=a\)
zijn? Dat klopt gewoon niet. ;)
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 13:40

Bartjes

Re: Breuken met letters

Maar wacht eens even. Hoe kan dat nou? Hoe kan
\(x^3\)
nou op eens
\(x^2*x\)
worden? Hoezo is dat op eens van
\(x^3\)
naar
\(x^2\)
gegaan.
x1 = x

x2 = x.x

x3 = x.x.x

Etc.

Zo is dat gedefinieerd.

Dus:

x3 = x.x.x

x3 = (x.x).x

x3 = x2.x .

Edit: Ik zie nu dat je er zelf al uit bent. ;)

2a = a geldt alleen wanneer a=0.
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 13:42

Vianona

Berichten: 8

Re: Breuken met letters

Bartjes schreef:x1 = x

x2 = x.x

x3 = x.x.x

Etc.

Zo is dat gedefinieerd.

Dus:

x3 = x.x.x

x3 = (x.x).x

x3 = x2.x .
Kijk dat is al een stuk duidelijker, dank je. Maar dat legt mij vrij weinig uit verder over breuken met letters. Ik zit nu bijvoorbeeld helemaal vast op deze:
\(2ap/3aq\)
. Volgens mij kun je dat ook schrijven als 2p/3q. Ja toch?
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 14:14

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Breuken met letters

\(2ap/3aq\)
. Volgens mij kun je dat ook schrijven als 2p/3q. Ja toch?

Goed, maar je moet wel aangeven wat in teller en noemer staat. Hoe kan je dat doen? (denk aan haakjes)
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 14:28

Bartjes

Re: Breuken met letters

Vianona schreef:Kijk dat is al een stuk duidelijker, dank je. Maar dat legt mij vrij weinig uit verder over breuken met letters. Ik zit nu bijvoorbeeld helemaal vast op deze:
\(2ap/3aq\)
. Volgens mij kun je dat ook schrijven als 2p/3q. Ja toch?
Er zijn minstens twee redenen om met letters te rekenen.

1. Om stellingen te bewijzen die opgaan, wat we ook voor de letters invullen. Soms worden daarbij nog zekere beperkingen opgelegd, zo wil je niet (ongemerkt) door nul delen.

Bekijk eens de onderstaande stelling:
\( \frac{2ap}{3aq} \, = \, \frac{2p}{3q} \)
.

Die gelijkheid betekent dat wat je ook voor de waarden van a, p en q kiest, die gelijkheid altijd zal opgaan. (Stilzwijgend is daarbij aangenomen dat a en q ongelijk aan 0 zijn.)

Zo geldt bijvoorbeeld:
\( \frac{2 \, . \, 3 \, . \, 7}{3 \, . \, 3 \, . \, 0,76} \, = \, \frac{2\, . \, 7}{3 \, . \, 0,76} \)
.

Maar je kan nu als het goed is nog ontelbaar veel andere voorbeelden verzinnen, en eventueel narekenen wanneer je het niet gelooft. De rekenregels voor het rekenen met letters moeten bij deze toepassing dus zo zijn dat de verkregen stellingen steeds waar zijn, wat we ook voor de letters invullen.

Opmerkingen:

i. Je mag voor een letter in een stelling op de ene plaats geen ander getal dan op de andere invullen. De eenvoudige stelling 2a = a+a wordt bijvoorbeeld onwaar als we bij de eerste a een 3 invullen en bij de tweede en derde a het getal 100.

ii. Je moet rekening houden met de (al dan niet stilzwijgende) beperkingen die er aan de toegestane waarden van de letters zijn opgelegd.

2. Je kan het rekenen met letters ook gebruiken om vergelijkingen op te stellen. Dit zijn rekenkundige beweringen waarbij je nu juist zoekt naar de waarden van de letters waarvoor die bewering waar is. Het moet dus in de tekst aangegeven worden wat de bedoeling is.

Tot slot: Mogelijk is dit verhaal te ingewikkeld. Maar ik wilde toch even kort aangeven wat de achtergrond van het rekenen met letters is. Persoonlijk heb ik altijd een grote hekel gehad aan het zonder begrip uitvoeren van wiskundige trucs. Maar goed, dat geldt niet voor iedereen. Dus doe er mee wat je wilt...
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 14:58

Vianona

Berichten: 8

Re: Breuken met letters

Tot slot: Mogelijk is dit verhaal te ingewikkeld. Maar ik wilde toch even kort aangeven wat de achtergrond van het rekenen met letters is. Persoonlijk heb ik altijd een grote hekel gehad aan het zonder begrip uitvoeren van wiskundige trucs. Maar goed, dat geldt niet voor iedereen. Dus doe er mee wat je wilt...
Veels te ingewikkeld (maar verhelderend), al helemaal aangezien ik het begrip 'variabel' al ken sinds ik 9 ben, ik doe zelf veel aan programmeren (C vooral) dus met variabelen heb ik constant te maken. Daarom snap ik ook zelf niet echt waarom ik zo veel moeite heb op het moment.

Graag weet ik ook liever zelf waarom dingen werken zoals ze werken, en heb zelf ook een hekel aan 'trucjes'. ;)

Dit helpt mij echter niet veel verder. Het is niet dat ik het niet snap, de theorie is heel duidelijk, ik kan het gewoon niet toepassen. Het boek legt eigenlijk helemaal niks uit en ik heb ook niet iemand de mij dit kan uitleggen.

Het liefste zou ik een som neer plaatsen uit mijn boek, en dan uitleggen wat mijn eerste stap is. En dat dan iemand mij uitlegd of ik het goed doe of fout (en dan ook waarom).

Eigenlijk ben ik gewoon vrienden nodig die wiskunde doen. :P
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:00

Jan van de Velde

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.264

Re: Breuken met letters

Vianona schreef:Oh, ja, het voorbeeld zegt trouwens dit:
\(2a/2b = (2*a)/(2*b) = a/b\)
, maar dat is toch
\(a^2/b^2\)
? Hoe kan
\(2*a\)
nou
\(a\)
als antwoord geven?!
Voor jou misschien het slimst: vul voor je letters (variabelen) eens eenvoudige getallen in (niet ál te eenvoudig zoals nul en één)
\(\frac{2a}{2b} = \frac{(2 \times a)}{(2 \times b)} = a/b\)


maken we bijvoorbeeld eens van:
\(\frac{2a}{2b} = \frac{(2 \times 7)}{(2 \times 3)} = 7/3\)


klopt dat? zie je dat je boven en onder dezelfde factor 2 had? Eigenlijk hebben we dus dit gedaan
\(\frac{2a}{2b} = \frac{(2 \times 7)}{(2 \times 3)} =\frac{2}{2} \times \frac{7}{3} = 1 \times \frac{7}{3} = 7/3 \)


kun je ook helemaal met letters blijven doen, want 2/2 = 1, 45/45 = 1 , 1137/1137 = 1, dus ook q/q = 1 of dolfijn/dolfijn = 1
\(\frac{ab}{ac} = \frac{(a \times b)}{(a \times c)} =\frac{a}{a} \times \frac{b}{c} = 1 \times \frac{b}{c} = b/c \)
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:06

Bartjes

Re: Breuken met letters

Het liefste zou ik een som neer plaatsen uit mijn boek, en dan uitleggen wat mijn eerste stap is. En dat dan iemand mij uitlegd of ik het goed doe of fout (en dan ook waarom).


Dat kan hier! Gewoon doen. ;)
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:09

Vianona

Berichten: 8

Re: Breuken met letters

Poef. En nu opeens snap ik het, zie je wel! Even om te testen dan maar, kijken of ik deze kan oplossen. ;)
\(\frac{6ap}{9aq} = \)
Aannemend dat a=3, p=10, q=20
\(\frac{6 * 3 * 10}{9 * 3 * 20}\)
Aangezien we in beiden met 3 (a) vermenigvuldigen, kan ik die weg laten, aangezien de breuk nog steeds klopt, houden we over.
\(\frac{6 * 10}{9 * 20} = \frac{60}{90}\)
Of met andere woorden.
\(\frac{2}{3}\)
Dus het antwoord is:
\(\frac{6ap}{9aq} = \frac{2p}{3q}\)
Correct? Of doe ik nu iets doms? :P

HEEL DOM, hahaha, natuurlijk is dat 2/3. Sorry, die eerste
\(\frac{1}{3}\)
moet natuurlijk 2/3 zijn, >___>. Zo even verbeterd!
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:14

Jan van de Velde

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.264

Re: Breuken met letters

Correct?
bijna: 6/9 is niet 1/3

6/9 = (2*3)/(3*3) = 2/3

>>>>>>>>>>>>>>>edit: OK, ZAG JE ZELF AL
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:18

Vianona

Berichten: 8

Re: Breuken met letters

Jan van de Velde schreef:bijna: 6/9 is niet 1/3

6/9 = (2*3)/(3*3) = 2/3

>>>>>>>>>>>>>>>edit: OK, ZAG JE ZELF AL
Nog 1tje dan, een wat moeilijkere.

Vereenvoudig:
\(-\frac{6pq}{p^2 q^2} = \)
p = 50

q= 25
\(-\frac{6 * 50 * 25}{(50^2) * (25^2)} = -\frac{7500}{1562500}\)
... misschien was de keuze van getallen een beetje ongelukkig... ;) . Goed, p is 3, q is 8.
\(-\frac{6 * 3 * 8}{(3^2) * (8^2)} = -\frac{144}{576}\)
Volgens mij pak ik het verkeerd aan!

Misschien.. OH! Ik zie hem... denk ik!
\(-\frac{6pq}{p^2 q^2} = \)
\(6pq / 2 = 3pq\)
\(p^2 / 2 =p\)
\(q^2 / 2 = q\)
Wacht je kan een kwadraat niet delen door 2 en dan verwachten dat het antwoord gelijk staat aan
\(p^1\)
... tenzij
\(p=2\)
. Dus
\(p^2 / p = p\)
...

De som echter lukt me nog steeds niet.. :P
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:25

Bartjes

Re: Breuken met letters

Vianona schreef:Poef. En nu opeens snap ik het, zie je wel! Even om te testen dan maar, kijken of ik deze kan oplossen. ;)
\(\frac{6ap}{9aq} = \)
Aannemend dat a=3, p=10, q=20
\(\frac{6 * 3 * 10}{9 * 3 * 20}\)
Aangezien we in beiden met 3 (a) vermenigvuldigen, kan ik die weg laten...
Op dit punt ben je er al. Omdat hetzelfde voor alle a (ongelijk 0) geldt, kan je a dus gewoon wegstrepen.

Wanneer je de berekening met concrete getallen te ver door zet, zie je het algemene patroon niet meer. En daar is het hier nu juist om te doen.

Tip: p2 = p.p .
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:27

Vianona

Berichten: 8

Re: Breuken met letters

Op dit punt ben je er al. Omdat hetzelfde voor alle a (ongelijk 0) geldt, kan je a dus gewoon wegstrepen.


Inderdaad, ik wou het gewoon even heel duidelijk neerzetten om te laten zien dat ik het dus ook daadwerkelijk echt begrijp ;) . De opdracht is om te vereenvoudigen.
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:31

Jan van de Velde

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.264

Re: Breuken met letters

\(-\frac{6pq}{p^2 q^2} = \)
\(-\frac{6 \times p \times q}{p \times p \times q \times q} = -\frac{6}{p \times q} \times \frac{p}{p} \times \frac{q}{q} = .......\)
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270
Omhoog

Bericht 12-09-'11, 15:34

Vianona

Berichten: 8

Re: Breuken met letters

\(-\frac{6 \times p \times q}{p \times p \times q \times q} = -\frac{6}{p \times q} \times \frac{p}{p} \times \frac{q}{q} = .......\)
Ik snapte het tot
\(-\frac{6}{p \times q}\)
Maar waarom doe je daarna dan:
\(-\frac{p \times q}{p \times q}\)
Wat is daar de beredenering van? Het antwoord is toch gewoon
\(-\frac{6}{p \times q}\)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”